一般地,设A,B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数(function),记作y=f(x),x∈A. 其中,x叫做自变量, x的取值范围A叫做函数的定义域(domain);与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域(range).显然,值域是集合B的子集.
此处的函数概念,我们称为函数的近代定义.而初中学习的函数概念,称为函数的传统定义,内容如下:
设在某个变化过程中,有两个变量x和y,如果给定了一个x值,相应地确定唯一的一个y值,那么就称y是x的函数,其中x是自变量,y是因变量.它们描述的是变量之间的依赖关系.
因此,二者的异同点如下:
不同点 传统定义从变量变化的角度,刻画两个变量之间的对应关系;而近代定义,则从集合间的对应关系来刻画两个非空数集间的对应关系.
相同点 两种对应关系满足的条件是相同的,“变量x的每一个值”以及“集合A中的每一个数”,都有唯一一个“y值”与之对应.
函数的两种不同定义的异同点解答了教材第19页【思考】.
(1)A,B必须为非空数集,定义域或值域为空集的函数是不存在的.例如,y= 就不是函数. (2)两个非空数集间的对应能否构成函数,主要看是否满足三性:任意性、存在性、唯一性.这是因为函数定义中明确要求对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x,在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应.这三性只要有一个不满足便不能构成函数. (3)集合A是函数的定义域,因为给定A中每一个x值都有唯一的y值与之对应;集合B不一定是函数的值域,因为B中的元素可以没有与之对应者,即{f(x)|x∈A}⊆B. (4)符号y=f(x)表示“x对应的函数值”,f表示对应关系.“f(x)”是一个整体,不可分开,也不能理解成“f·x”. 知识点2：函数的三要素
由函数概念知,一个函数的构成要素为定义域、对应关系和值域.
函数的定义域是自变量的取值范围. 在函数关系式的表述中,函数的定义域有时可以省略,这时就约定这个函数的定义域就是使得这个函数关系式有意义的实数的全体构成的集合.在实际问题中,函数的定义域还要受到自变量实际意义的制约.
对应关系f是函数的核心,它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”.按照这一“程序”,从定义域A中任取一个x,可得到值域{y|y=f(x),x∈A}中唯一的y与之对应.同一“f ”可以“操作”不同形式的变量. zhuyi
函数的对应关系主要有图象、列表、解析式三种形式,尤其以解析式为主.
如何理解对应关系“f ”的含义? 对应关系f,它是函数的本质特征,好比是计算机中的某个“程序”,当f( )的括号内输入一个值时,在此“程序”作用下便可输出某个数据,即函数值,如f(x)=3x+5,f表示“自变量的3倍加上5”,如f(4)=3×4+5=17.需要注意的是:这里的“x”既可以是一个数,也可以是一个代数式,还可以是某个函数记号.如f(x)=3x+5,则f(2x-1)=3(2x-1)+5,f(φ(x))=3φ(x)+5等. 函数值域是函数值的集合,通常一个函数的定义域和对应关系确定了,那么它的值域也就随之确定.
由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以确定一个函数只需要两个要素:定义域和对应关系,即要检验给定的两个变量(变量均为数值)之间是否具有函数关系,只要检验: (1)定义域和对应关系是否给出; (2)根据给出的对应关系,自变量x在其定义域中的每一个值,是否都有唯一的函数值y和它对应.
1.f(a)(a∈A)与f(x)的区别与联系 f(a)表示x=a时f(x)的函数值,是其值域内的一个数值,它表示的是常量;f(x)表示自变量为x的函数,它表示的是变量.例如,f(x)=2x表示函数;当x=3时,f(3)=6是一个常量.
2.f(x)与f(x-a)的区别与联系
它们有同一个对应关系f,施加的对象不同,一个是x,一个是x-a.若以x为自变量,它们是不同的函数. 知识点3：函数的相等 只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才相等,即是同一个函数.
zhuyi
函数的值域是由定义域和对应关系决定的,因此值域不相同时,两个函数必不相等.
(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数.因此,定义域和值域分别相同的两个函数也不一定相等.如函数f(x)=2x与g(x)=3x的定义域和值域均为R,但是它们的对应关系不同,所以两个函数不相等. (2)因为函数是两个数集之间的对应关系,所以用什么字母表示自变量、因变量和对应关系是无关紧要的.例如,f(x)=3x+5与f(t)=3t+5就是同一个函数. (3)对f(x)中x的理解:虽然f(x)=x2和f(x-1)=x2从等号右边的表达式上看是一样的,但f施加关系的对象不同(一个为x,而另一个为x-1).令t=x-1,则x=t+1,即f(t)=(t+1)2,故函数f(x-1)=x2对应f(t)=(t+1)2.因此函数f(x)=x2与f(x-1)=x2表示的是不同的函数. 知识点4：区间
设a,b是两个实数,而且a<>我们规定: (1)满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间,表示为[a,b]; (2)满足不等式a<><>的实数x的集合叫做开区间,表示为(a,b); (3)满足不等式a≤x<>或a<>≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间,分别表示为[a,b),(a,b]. 这里的实数a,b都叫做相应区间的端点.我们可以在数轴上表示上述区间,为了区别开区间、闭区间的端点,我们用实心点表示包括在区间内的端点,用空心点表示不包括在区间内的端点. 定义 | 名称 | 符号 | 数轴表示 | {x|a≤x≤b} | 闭区间 | [a,b] | 
| {x|a<><>} | 开区间 | (a,b) | 
| {x|a≤x<>} | 半开半闭区间 | [a,b) | 
| {x|a<>≤b} | 半开半闭区间 | (a,b] | 
|
理解区间概念时,需注意下列两点: (1)区间符号里面的两个字母(或数字)之间用“,”隔开;
(2)区间表示实数集的几条原则:连续的数集,左端点必须小于右端点,开或闭不能混淆.
实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作“无穷大”,“-∞”读作“负无穷大”,“+∞”读作“正无穷大”.我们可以把满足x≥a,x>a,x≤b,x<>的实数x的集合分别表示为[a,+∞),(a,+∞),(-∞,b],(-∞,b). 定义 | 符号 | 数轴表示 | {x|-∞<><>∞} | (-∞,+∞) | 
| {x|x≥a} | [a,+∞) | 
| {x|x>a} | (a,+∞) | 
| {x|x≤b} | (-∞,b] | 
| {x|x<>} | (-∞,b) | 
|
zhuyi
“∞”是一个趋向符号,表示无限接近,却永远不能到达,不是一个数.因此以“-∞”和“+∞”为区间的一端时,这一端点必须用小括号.
(1)区间实质上是一类特殊数集(部分实数组成的集合)的符号表示. (2)集合表示法和区间表示法都是表示取值范围的方法.一般地,用哪种方法表示取值范围应该与原题的表示方法保持一致,在没有明确的要求下,一般选择比较简便的表示法. 知识点5：抽象函数与复合函数（难点） 如果函数y=f(t)的定义域为A,函数t=g(x)的定义域为D,值域为C,则当C⊆A时,称函数y=f(g(x))为f(x)与g(x)在D上的复合函数,其中t叫做中间变量,t=g(x)叫做内层函数,y=f(t)叫做外层函数.
由复合函数的定义可知,内层函数的值域是外层函数的定义域或定义域的子集,外层函数的定义域和内层函数的值域共同确定了复合函数的定义域.由此可见, (1)若f(x)的定义域为D,则f(g(x))的定义域是使g(x)∈D有意义的x的集合.若f(g(x))的定义域为D,则g(x)在D上的取值集合即f(x)的定义域. (2)若函数f(x)的定义域为A,在求解复合函数y=f(g(x))的定义域时,要同时满足两个条件:①g(x)有意义,即x在函数g(x)的定义域中;②f(x)有意义,即g(x)∈A.
求抽象函数或复合函数的定义域,要明确以下几点: (1)函数f(x)的定义域是指x的取值范围所组成的集合. (2)函数f(φ(x))的定义域是指x的取值范围,而不是φ(x)的范围. (3)已知f(x)的定义域为A,求f(φ(x))的定义域,其实质是已知φ(x)的取值范围为A,求出x的取值范围. (4)已知f(φ(x))的定义域为B,求f(x)的定义域,其实质是已知f(φ(x))中的x的取值范围为B,求出φ(x)的范围(值域),此范围就是f(x)的定义域. (5)同在对应法则f下的范围相同,即f(t),f(φ(x)),f(h(x))三个函数中的t,φ(x),h(x)的范围相同. (6)已知f(φ(x))的定义域,求f(h(x))的定义域,先由x的取值范围,求出φ(x)的取值范围,即f(x)中的x的取值范围,再由此确定h(x)的取值范围,进而根据h(x)的取值范围求出x的取值范围. |
