【课程】西南科大网教学院_数学分析02_1.2 函数的几种特性

1.2　函数的几种特性

1.2.1          函数的有界性

我们首先看一看下列几个函数及其它们的图形

    1．正弦函数：

使得　

2．反正切函数：

使得　

    定义1.2.1　设函数在数集上有定义，如果存在，使，恒有 ，则称在上有界；如果这样的不存在，则称在上无界．

　　上面的两个函数在指定的定义域上都是有界的，下面是无界函数的例子．

3．正切函数：

    4．反比例函数：

5．有理分式函数：

 由这三个无界函数的例子，我们不难理解函数无界的等价定义．

　　定义1.2.1  函数在定义域上称为无界的是指：如果，使得．

1.2.2  函数的单调性

定义1.2.2　设在有定义，若在上随的增大而增大（减少），即,

．

则称在上是严格递增（严格递减）的．若在上随的增大而不减（不增）的，即,

．

则称在上是递增（递减）的 ，或称在上是不减（不增）的．

1.2.3  函数的奇偶性

    定义1.2.3　设在关于原点对称的区间上有定义，如果对于该区间的每一个有．则称为奇（偶）函数．

　　由定义可知，奇函数的图形关于原点对称；偶函数的图形关于轴对称．

1.2.4函数的周期性

定义1.2.4  若存在常数T > 0,使得对任一,有 f(x+T) = f(x),则称函数 f 是周期函数. T 称为它的周期.  若存在满足上述条件的最小的 T ，则称它为f  的最小周期

 

1.2.5函数的反函数

　　设在有定义，如果，恒有，则称与是1-1对应的．

    定义1.2.5　设是1-1对应的函数，如果我们把看作自变量，看作因变量，则确定了为的一个函数．称是的反函数，通常记为．称为的直接函数．

    习惯上，我们用表示自变量，表示函数，所以，函数的反函数可写为：．显然，与互为反函数．

    由定义还可以看出，严格单调函数必有反函数．函数的定义域和值域分别是其反函数的值域和定义域．

1.2.6 复合函数

定义1.2.6　设与是两个函数，为的定义域或其一部分．若对于中的每一个值,由函数相应地得到唯一确定的值，这时可看作自变量. 看作因变量，就成为的函数,称这个函数为由与构成的复合函数，记作.它的定义域是，其中称为外函数，称为内函数，称为中间变量．

必须注意：要构成复合函数，其自变量在定义域中取值时所对应的值都必须在外函数的定义域中．例如，由和所构成的复合函数只有当自变量在中取值时，由所得到的值都在外函数的定义域中，因而这个复合函数的定义域只能是，它是内函数的定义域的一部分．

典型例题：

例1  证明：在区间上有界，而在区间上无界．

证明：(1)  先证在区间有界．

    ,   

即，，使得 故, 在区间有界．

    (2)  证在区间无界．

    因为，使得

所以在区间无界．

例2　试证：(1) 在是递增的．

     (2) 在是递减的．

证：(1)  ，且，有

即,_. 所以, 在递增．

(2) 

＝

即, _.  所以在是递减的．

例3　试证：若，都是奇函数；则＋为奇函数，为偶函数．

    证明：(1)  先证＋为奇函数．

故, ＋为奇函数

(2)  再证，为偶函数．

故为偶函数．

　　  例4　函数在没有反函数，但是函数在区间是严格递增的，其值域为，它的反函数是，其定义域为，值域为，函数在区间是严格递减的，其值域为，它也有反函数是，其定义域为，值域为．

　例5　将构成复合函数，并写出复合函数的定义域．

     解：因为，所以

由

从而，，即

故,