函数中存在性和任意性问题分类解析

函数中存在性和任意性问题分类解析

湖北省阳新县高级中学　邹生书

全称量词、特称量词以及全称命题和特称命题在近几年新课标高考卷和模拟卷中频频亮相成为高考的热点问题.特别是全称量词”任意”和特称量词”存在”与函数情投意合风火情深，火借风势、风助火威，大有逾演逾烈之势.两种量词插足函数，使得函数问题意深难懂神秘莫测，问题显得更加扑朔迷离难度大增，同时题目也因此显得富有变化和新意.解决这类问题的关键是揭开量词隐含的神秘面纱还函数问题本来面目，本文通过典型题目分类解析供参考.

 

1.，，使得，等价于函数在上的值域与函数在上的值域的交集不空，即.

 

例1  已知函数和函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是（   ）

 

            

 

解  设函数与在上的值域分别为与，依题意.

 

当时，，则，所以在上单调递增，所以即.

 

当时，，所以单调递，所以即.

 

综上所述在上的值域.

 

当时，，又，所以在在上单调递增，所以即，故在上的值域.

 

因为，所以或解得，故应选.

 

2.对，，使得，等价于函数在上的值域是函数在上的值域的子集，即.

 

例2(2011湖北八校第二次联考)设，.①若，使成立，则实数的取值范围为＿＿＿;②若，，使得，则实数的取值范围为＿＿＿

 

解 ①依题意实数的取值范围就是函数的值域.设，则问题转化为求函数的值域，由均值不等式得，，故实数的取值范围是.

 

②依题意实数的取值范围就是使得函数的值域是函数的值域的子集的实数的取值范围.由①知，易求得函数的值域，则当且仅当即，故实数的取值范围是.

 

例3已知，它们的定义域都是，其中是自然对数的底数，.(1)求的单调区间;(2)若，且，函数，若对任意的，总存在，使，求实数的取值范围.

 

解 (1)略;(2)依题意实数的取值范围就是使得在区间上的值域是的值域的子集实数的取值范围.

 

当时， 由得，故在上单调递减，所以即，于是.

 

因，由得.

 

①当时，，故在上单调递增，所以即，于是.因为，则当且仅当，即.

 

②当时，同上可求得.

 

综合①②知所求实数的取值范围是.

 

3.已知是在闭区间的上连续函，则对使得，等价于.

 

例4已知，其中.(1)若是函数的极值点，求实数的值;(2)若对任意的都有成立，求实数的取值范围.

 

解 (1)略;(2) 对，有，等价于有.

 

当时， ，所以在上单调递增，所以.

 

因为， 令得，又且，.

 

①当时，，所以在在上单调递增，所以.令得这与矛盾。

 

②当时，当时，当时，所以在上单调递减在上单调递增，所以.令得，又，所以。

 

③当时，，所以在上单调递减，所以.令得，又，所以。

 

综合①②③得所求实数的取值范围是。

 

另解 同上求得，要证时，，即.由上知求需对参数进行分类讨论过程繁而长，其实可避免分类讨论，不等式恒成立问题往往转化最值问题来解决，逆向思维，由于难求，将退回到恒成立问题: 证时， 即恒成立，只需证当时，恒成立，只需证.因为，令得.当时，当时，故，所以，故所求实数的取值范围是。

 

点评  这里“另解”将不等式恒成立问题与最值问题的单向转化变成双向转化，将一个需要分类讨论的最值问题转化为另一个不需要分类讨论的最值问题.

 

 练习：已知函数，，若函数的图象经过点，且在点处的切线线恰好与直线垂直.(1)求的值;(2)求函数的在上最大值和最小值；（3）如果对任意都有成立，求实数的取值范围.

 

4.若对，，使，等价于在上的最小值不小于在上的最小值即（这里假设存在）。

 

例5(2010年山东)已知函数.(1)当时，讨论的单调性;(2)设，当时，若对任意，存在，使，求实数的取值范围.

 

解（1）略；（2）依题意在上的最小值不小于在上的最小值即，于是问题转化为最值问题.

 

当时，，所以，则当时，;当时，，所以当时，.

 

，①当时，可求得，由得

 

这与矛盾.②当时，可求得，由得这与矛盾.③当时，可求得，由得.

 

综合①②③得实数的取值范围是.

2011-