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函数内容的学习一直是很多学生的重难点，甚至一些学生与理想的学校失之交臂，就是因为函数内容没学好，无法取得中考数学高分。 初中数学要学到函数一般有三种：一次函数（包含正比函数）、反比例函数、二次函数。其中二次函数作为初中数学当中最重要内容之一，一直受到中考数学命题老师的青睐。 任何与函数有关的数学问题，都需要先求出函数解析式，再结合函数的图象与性质进行解决。因此，一个人是否能熟练地求出二次函数的解析式是成功解决与二次函数相关问题的重要保障。 今天我们就一起来简单讲讲如何求二次函数的解析式，在初中数学教材里，二次函数的解析式一般有以下三种基本形式： 1、一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)。 2、顶点式：y=a(x－m)2+k(a≠0)，其中顶点坐标为(m,k)，对称轴为直线x=m。 3、交点式：y=a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标。 那么这三种形式有什么区别呢？在解决实际问题过程中，该如何选择呢？求二次函数的解析式的方法我们一般采用待定系数法，即将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。 我们结合待定系数法和三种二次函数基本形式来确定函数关系式，一定要根据不同条件，设出恰当的解析式，具体如下： 1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式y=ax2+bx+c(a≠0)来求解。 2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式y=a(x－m)2+k(a≠0)来求解。 3、若给出抛物线与x轴的交点或对称轴或与x轴的交点距离，通常可设交点式y=a(x－x1)(x－x2)(a≠0)来求解。 值得注意的是，用交点式来求二次函数的解析式，前提条件是二次函数与x轴有交点坐标。 求解二次函数解析式，典型例题分析1： 已知一个二次函数图象经过（-1，-3）、（2，12）和（1，1）三点，那么这个函数的解析式是_______。 解：将点（-1，-3）、（2，12）和（1，1）坐标代入y=ax2+bx+c，可得： -3=a（-1）2+b（-1）+c 12=a·22+b·2+c 1=a·12+b·1+c 解得a=3,b=2,c=-4。 因此所求函数解析式为y=3x2+2x-4。 求出待定系数a,b,c,进而获得解析式y=ax2+bx+c. 解题反思： 已知二次函数图象上的三个点，可设其解析式为y=ax2+bx+c,将三个点的坐标代入，把问题转化为求解一个三元一次方程组，易得a=3,b=2,c=-4，故所求函数解析式为y=3x2+2x-4。 求解二次函数解析式，典型例题分析2： 已知二次函数的图象过（－1，－9）、（1，－3）和（3，－5）三点，求此二次函数的解析式。 解：设此二次函数的解析式为，由题意得： -9=a（-1）2+b（-1）+c -3=a·12+b·1+c -5=a·32+b·3+c 解得a=-1,b=3,c=-5。 ∴所求的二次函数的解析式为 求解二次函数解析式，典型例题分析3： 在平面直角坐标系中，顶点为A（1，﹣1）的抛物线经过点B（5，3），求抛物线的解析式。 解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2﹣1， 将B点坐标代入函数解析式，得（5﹣1）2a﹣1=3， 解得a=0.25． 故抛物线的解析式为y=0.25（x﹣1）2﹣1. 求解二次函数解析式，典型例题分析4： 已知抛物线的顶点（－1，－2）且图象经过（1，10），求解析式。 解：设抛物线y=a(x－m)2+k，由题意得： m=-1，k=-2 ∴y=a(x+1)2-2 ∵抛物线过点（1，10） ∴a(1+1)2-2=10 所以a=3 即解析式为y=3x2+6x+1. 求解二次函数解析式，典型例题分析5： 已知二次函数的图象与轴的交点为（－5，0），（2，0），且图象经过（3，－4），求解析式。 解：设所求解析式为y=a(x+5)(x－2) ∵图象经过（3，－4） ∴a(x+5)(x－2)=-4 ∴a=-0.5 即：y=0.5(x+5)(x－2) 则所求解析式为y=-0.5x2-1.5x+5. 求解二次函数解析式，典型例题分析6： 已知抛物线y=-2x2+8x-9的顶点为A，若二次函数y=ax2+bx+c的图像经过A点，且与x轴交于B（0，0）、C（3，0）两点，试求这个二次函数的解析式。 解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交于B（0，0）、C（3，0）两点 ∴设二次函数的解析式为y=ax(x-3) ∵y=-2x2+8x-9的顶点为A（2，-1）。 ∴将A点的坐标代入y=ax(x-3), 得到a=0.5 ∴y=0.5x(x-3), 即y=0.5x2-1.5x. 记住二次函数的解析式一般有以下三种基本形式： 1、一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)。 2、顶点式：y=a(x－m)2+k(a≠0)，其中顶点坐标为(m,k)，对称轴为直线x=m。 3、交点式：y=a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标。 |
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