中考数学求二次函数解析式

二次函数是中考数学的一个重要内容，正确地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的关键．

解题方法

在平时的学习中，我们都知道二次函数的解析式有三种基本形式，分别是一般式、顶点式、交点式。

今天除了介绍大家所熟知的外，还要给大家介绍一种在做题时我们经常遇到的对称点式．

1. 一般式：y=ax²+bx+c  (a≠0)

2. 顶点式：y=a(x-h)²+k (a≠0)，其中点（h,k）为顶点，对称轴为x=h

3. 交点式：y=a(x-x₁) (x-x₂) (a≠0)， 其中x₁，x₂是抛物线与x轴的交点的横坐标。

4. 对称点式：y=a(x-x₁) (x-x₂)+m(a≠0)

求二次函数的解析式通常用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式：

1. 若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式．

2. 若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式．

3. 若给出抛物线与x轴的交点或对称轴与x轴的交点距离，通常可设交点式。

4. 若已知二次函数图象上的两个对称点（x₁，m）（x₂，m），则设成y=a（x-x₁）（x-x₂）+m（a≠0），再将另一个点的坐标代入式子中，求出a的值，再化成一般形式即可．

典例分析

现在我们一起探究几道具体问题，按照上述方法，希望大家能够将此方法熟练运用到自己的学习中．

例1:已知二次函数的图象经过点（-1，-5）（0 ，-4）和（1， 1）．求这个二次函数的解析式．

分析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y=ax²+bx+c  (a≠0)．

解：设这个二次函数的解析式为y=ax²+bx+c  (a≠0)

例2　已知抛物线y=ax²+bx+c  的顶点坐标为（4，-1），与ｙ轴交于点（0，3），求这条抛物线的解析式．

分析：已知抛物线y=ax²+bx+c  的顶点坐标为（4，-1），抛开题目所给条件，重新设顶点式y=a(x-h)²+k (a≠0),其中点（h,k）为顶点.

解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x-4)²-1 (a≠0)，又抛物线与ｙ轴交于点（0，3）

例3　如图，已知两点A（－8，0）B（2，0），以AB为直径的半圆与ｙ轴正半轴交于点C（0，4）．求经过A、B、C三点的抛物线的解析式．

分析：A、B两点实际上是抛物线与ｘ轴的交点，所以可设交点式

y=a(x-x₁) (x-x₂) (a≠0),其中x₁,x₂是抛物线与x轴的交点的横坐标。

解：依题意，设这个二次函数的解析式为

当然本道题目给出了图象上的三点坐标，我们也可以设一般式y=ax²+bx+c (a≠0)求解，大家可以自己动手算一算，看看那种方法最简便．

例4　已知抛物线过点A（1，2）、B（3，2）,与y轴的交点为C（0，-1），求抛物线的解析式．

分析：根据题意可知点A、B是抛物线上关于对称轴对称的两点，则可以设对称点式y=a(x-x₁) (x-x₂)+m(a≠0)求解,其中x₁,x_{2分别是点A、B的横坐标，m是点A、B的纵坐标．}

解：根据题意可设抛物线的解析式为，

　∵　抛物线与y轴的交点为C（0，-1），

　∴　a(0-1)(0-3)+2= -1，解得a=-1，

　∴　此抛物线的解析式为：，即．

同样的，本道题目给出了图象上的三点坐标，我们也可以设一般式

y=ax²+bx+c (a≠0) 求解，大家也可以自己动手算一算，看看那种方法最简便．

数学老师总结

求解二次函数的解析式，需要同学们有良好的计算及解方程的能力，通过上面的例题不难发现一般式的计算量是最大的，顶点式、交点式、对称点式等相对于一般式来说只需要解一元一次方程，计算量大大减小，而且不容易出错，便于检查和检验。

因此在解决此类问题时，大家可以根据已知条件选择合适的解析式求解，提高做题效率．

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