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本文转载自【吴国平数学教育】并得到授权添加原创标志！ 数学研究对象一直以来主要集中在数量关系和空间形式两个方面，通俗的说，数学就是“做”关于“数”与“形”两者之间的事情。 基于数学这个本质的特点，数形结合思想是数学这个大家庭里最重要、最古老的数学思想方法之一。 在小学时期，虽然数学教育没有对数形结合思想进行针对性的教学训练，但在很多数学内容里都蕴含数形结合的思想。如小学生最开始通过具体物品的数量变化，来消化和理解加减乘除等基本运算。 进入初中之后，教材才正式给出数形结合这一重要思想方法，也是中考数学重要和热门考点。如要想掌握好函数相关知识内容，就必须把函数的图象和性质进行相结合，才能真正理解函数这一重要知识内容；或是学习几何内容，需要把基本的几何图形关系转化成数量关系，把图形语言转化成具体的数学语言等。 特别是进入高中之后，这些变化对学生的数学学习能力、数学素养等都提出了挑战。很多考生经常会说，为什么我做了那么多题目，还是考不出好成绩？关键就是没有认真去消化和理解数学思想方法，解题没有结合具体思想方法；或解题反思只是反思解题技巧，却对数学思想方法没有进行反思总结等。 因此，为了能更好帮助高考生应对高考数学，为自己将来考上理想的学校打下一个坚实基础，今天我们就一起来讲讲数形结合思想。 那么什么是数形结合思想？ 所谓数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决具体数学问题的思想方法，使复杂的数学问题通过数形结合变得简单，最终得到解决。 我们把数形结合思想进行细致化，可以从这两个方面去理解： 1、数形结合思想中的“数”主要是指数和数量关系； 2、“形”主要是指图形，有点、线、面、体等。 高考数学，数形结合思想方法，典型例题分析1： 在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C. (1) 求实数b的取值范围； (2) 求圆C的方程； (3) 问圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论． 解：令x＝0，得抛物线与y轴交点是(0，b)； 令f(x)＝x2＋2x＋b＝0，由题意b≠0 且Δ＞0，解得b＜1 且b≠0，实数b的取值范围是b∈(－∞，0)∪(0,1)． (2) 解：设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 令y＝0得x2＋Dx＋F＝0这与x2＋2x＋b＝0 是同一个方程， 故D＝2，F＝b. 令x＝0得y2＋Ey＋F＝0， 此方程有一个根为b， 代入得出E＝―b―1. 所以圆C 的方程为x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0. (3) 证明：假设圆C过定点(x0，y0)，(x0，y0不依赖于b)， 将该点的坐标代入圆C的方程， 并变形为x02＋y02＋2x0－y0＋b(1－y0)＝0 (*) 为使(*)式对所有满足b＜1(b≠0)的b都成立， 必须有1－y0＝0， 结合(*)式得 x02＋y02＋2x0－y0＝0， 解得x0=0，y0=1；或x0=-2，y0=1 经检验知，点(0,1)，(－2,0)均在圆C上， 因此圆C 过定点。 很多学生都知道数形结合思想，但对如何运用数形结合思想去解决问题，却不是很清楚。要想准确、高效运用数形结合思想去解决实际问题，一定要理解数形结合思想本质上就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想。 具体来说，运用数学结合思想解决实际问题，需要掌握这两个方面的解题策略： 1、学会用“以形助数”，把抽象问题具体化； 2、“以数解形”，把直观图形数量化，使“形”更加精确。 数形结合思想作为一种重要的数学思想方法，不仅体现数学的本质，更是解决数学问题的一种策略和思想，或是一种重要的方法，因而在历年全国高考数学中占有非常重要的地位。 高考数学，数形结合思想方法，典型例题分析2： 设f(x)＝－x3/3＋x2/2＋2ax. (1) 若f(x)在（2/3，+∞）上存在单调递增区间，求实数a的取值范围； (2) 当0＜a＜2时，f(x)在[1,4]上的最小值为－16/3，求f(x)在该区间上的最大值． 具体来说，要想在具体问题中抓住数形结合，可以从以下四个方面入手： 1、实数与数轴上点的对应； 2、函数与图象的对应； 3、曲线与方程的对应； 4、以几何元素及几何条件为背景，通过坐标系来实现的对应，有复数、三角、空间点的坐标等。 熟练运用数形结合思想，可以很直观帮助我们去解决具体的数学问题，如在解决高考数学填空题、选择题这些客观题时候，数形结合思想就有直观、简单、快捷等特点。即使是面对高考数学解答题，最终的解题过程我们都需要借用具体、严密、推理的数学语言表达出来，而图形只是辅助手段。 高考数学，数形结合思想方法，典型例题分析3： 已知f(x)是二次函数，不等式f(x)<0的解集是(0,5) ，且f(x)在区间[－1,4]上的最大值是12. (1) 求f(x)的解析式； (2) 是否存在自然数m使得方程f(x)＋37/x＝0在区间(m，m＋1)内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出m值；若不存在，说明理由． 解：(1) ∵ f(x)是二次函数，且f(x)＜0的解集是(0,5)， ∴ 可设f(x)＝ax(x－5)(a＞0)． ∴ f(x)在区间[－1,4]上的最大值是f(－1)＝6a. 由已知，得6a＝12， ∴ a＝2， ∴ f(x)＝2x(x－5)＝2x2－10x(x∈R)． (2) 方程f(x)＋37/x＝0等价于方程2x3－10x2＋37＝0. 设h(x)＝2x3－10x2＋37， 则h′(x)＝6x2－20x＝2x(3x－10)． 当x∈（0,10/3）时， h′(x)＜0，h(x)是减函数； 当x∈（10/3，+∞）时， h′(x)＞0，h(x)是增函数． ∵ h(3)＝1＞0， h（10/3）＝－1/27＜0，h(4)＝5＞0， ∴ 方程h(x)＝0在区间（3,10/3）,（10/3，4）内分别有唯一实数根，而在区间(0,3)，(4，＋∞)内没有实数根，所以存在唯一的自然数m＝3，使得方程f(x)＋37/x＝0在区间(m，m＋1)内有且只有两个不同的实数根。 数学思想方法，对于很多人来说好像是虚无缥缈的存在。实际上，只要认真去对待每一道题目，不断提炼解题方法和技巧，学会总结反思，结合习题训练，慢慢就能感受和学会运用数学思想方法解决问题。 高考数学，数形结合思想方法，典型例题分析4： 已知函数f(x)＝x2/2－alnx(a∈R)． (1) 若函数f(x)在x＝2处的切线方程为y＝x＋b，求a，b的值； (2) 若函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，求a的取值范围； (3) 讨论方程f(x)＝0的解的个数，并说明理由． 【高考数学】解题能力提升，每日一题: 第1题~第50题
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