【原】对数函数提高题综合题20讲，第一部分；高中高考数学复习训练课

对数函数提高题综合题20讲，第一部分，第1——第10题；高中数学高考数学复习训练课。

第1题

对数函数的定义域为R，说明对数的真数部分在R上恒大于0。函数g(x)的二次项系数含有参数a，当a等于0和不等于0时，它是不同种类的函数，所以要分这两种情况进行讨论。

第2题

正确做出本题需要理解以下两个问题：

第一个：函数f(x)的值域为R，则二次函数g(x)必须可以取大于0的任意实数；“可以”的意思是如果二次函数g(x)不在对数的真数位置，那么g(x)的值域除了必须包含所有的正实数之外，也可以包含0或负实数；所以判别式Δ≥0，而不是Δ＜0。

第二个：f(x)在(－∞,－3]上单调递减，则位于真数部分的二次函数必须在(－∞,－3]上单调递减，并且二次函数的最小值g(－3)必须大于0.

第3题

第（1）问，函数f(x)是一个对数函数，要使其有意义，真数必须恒大于0，则只需真数的最小值大于0。

第（2）问要讨论两个问题：

第一个问题：f(x)在区间[1,2]上为减函数。因为f(x)是对数函数，所以不要忘了对数的真数必须在区间[1,2]上恒大于0；

第二个问题：f(x)在区间[1,2]上最大值为2。根据f(x)的单调性求出最大值，并令其等于2，如果求出的a值符合条件即存在，否在就不存在。

第4题

根据复合函数单调性的特点，复合函数在(－∞,2)上是增函数，说明位于对数的真数部分的二次函数g(x)必须在区间(－∞,2)上单调递减；又对数的真数必须大于0，所以g(x)在区间(－∞,2)上的最小值必须大于0。

第5题

如果没有特别说明，对数的底数a默认的取值范围为0＜a＜1或a＞1。

函数f(x)是一个复合函数，在定义域上单调递增，对数的真数部分g(x)在定义域上单调递减，根据复合函数单调性的特点，可知对数函数必须是一个减函数，由此可得0＜a＜1；又对数的真数必须大于0，所以g(x)的最小值g(0)必须大于0。

第6题

（1）求对数的定义域，就是令真数大于0，解不等式即可。

使用单调性的定义判断对数函数的单调性，设x1＜x2后，一般不要使用f(x1)－f(x2)，而是把x1和x2分别代入真数后相减，即通过比较两个真数的大小间接地比较f(x1)和f(x2)的大小，见①；为了得到①式的符号，只需分别判断两个因式的符号，见②和③。

已知对数函数的单调性如何求底数a的范围，下面这个过程是通用过程，一定要理解它的解题思维。f(x)是增函数，就可以得到④式成立，要求a的范围，接下来只需比较两个真数的大小，即判断⑤式的符号。剩下的就是根据对数的性质确定a大于1还是小于1。

第7题

因为题中给出了二次函数的最大、最小值，所以先使用配方法变形二次函数的表达式；根据二次函数的最小值以及对数函数图像的特点可以顺利得到第一个结论①。

抛物线开口向上，最小值在区间内的某处取得，则最大值肯定在区间的其中一个端点处取得。

第8题

第（1）问，证明函数是偶函数可以使用偶函数的定义；证明函数不可能是偶函数常使用反证法：先假设函数是偶函数，然后根据已知或者定理等进行推导，直到得出一个错误的结论，这样就说明假设不成立，以此就可以说明函数不可能是偶函数。

第9题

第（1）问，根据图形可知，f(x)有两个单调区间，在(0,1]上递减，在[1,＋∞)上递增，根据单调性的特点，在同一个单调区间内，不可能出现两个相等的函数值，所以a和b分别位于其中一个单调区间内。

第（2）问，由第（1）问的结论可知，当自变量的两个取值的积等于1时，函数值相等，由此可以列一个方程①，接下来证明方程①的一个解位于区间(1,2)内即可。讨论方程解的情况常常使用函数零点存在性定理。

第10题

对数小于0恒成立，说明它的真数部分恒大于0，即①式恒成立，①式中的参数a很容易和其它各项分离开，所以考虑使用参数分离法求a的取值范围。

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