§2.8 对数与对数函数考试要求 1.理解对数的概念及运算性质,能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过实例,了解对数函数的概念,会画对数函数的图象,理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数. 知识梳理 1.对数的概念 一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数. 以10为底的对数叫做常用对数,记作lg N. 以e为底的对数叫做自然对数,记作ln N. 2.对数的性质与运算性质 (1)对数的性质:loga1=0,logaa=1,=N(a>0,且a≠1,N>0). (2)对数的运算性质 如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么: ①loga(MN)=logaM+logaN; ②loga=logaM-logaN; ③logaMn=nlogaM (n∈R). (3)对数换底公式:logab=(a>0,且a≠1;b>0;c>0,且c≠1). 3.对数函数的图象与性质
4.反函数 指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称. 常用结论 1.logab·logba=1,=logab. 2.如图给出4个对数函数的图象 则b>a>1>d>c>0,即在第一象限,不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大. 3.对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象恒过点(1,0),(a,1),. 思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若M=N,则logaM=logaN.( × ) (2)函数y=loga2x(a>0,且a≠1)是对数函数.( × ) (3)对数函数y=logax(a>0,且a≠1)在(0,+∞)上是增函数.( × ) (4)函数y=log2x与y=的图象重合.( √ ) 教材改编题 1.若函数f(x)=log2(x+1)的定义域是[0,1],则函数f(x)的值域为( ) A.[0,1] B.(0,1) C.(-∞,1] D.[1,+∞) 答案 A 解析 根据复合函数单调性同增异减可知f(x)在[0,1]上单调递增, 因为0≤x≤1,所以1≤x+1≤2,则log21≤log2(x+1)≤log22, 即f(x)∈[0,1]. 2.函数y=loga(x-2)+2(a>0,且a≠1)的图象恒过点________. 答案 (3,2) 解析 ∵loga1=0,令x-2=1,∴x=3,y=2,∴函数的图象过定点(3,2). 3.eln 2+=________. 答案 4 解析 eln 2+=2+log416=2+2=4. 题型一 对数式的运算 例1 (1)若2a=5b=10,则+的值是( ) A.-1 B. C. D.1 答案 D 解析 由2a=5b=10, ∴a=log210,b=log510, ∴=lg 2,=lg 5, ∴+=lg 2+lg 5=lg 10=1. (2)计算:log535+-log5-log514=________. 答案 2 解析 原式=log535-log5-log514+ =log5+ =log5125-1=log553-1=3-1=2. 思维升华 解决对数运算问题的常用方法 (1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简. (2)将同底对数的和、差、倍合并. (3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式,要注意换底公式的正用、逆用及变形应用. 跟踪训练1 (1)(2022·保定模拟)已知2a=3,b=log85,则4a-3b=________. 答案 解析 因为2a=3,所以a=log23, 又b=log85, 所以b=log25, 所以a-3b=log2,4a-3b==. (2)(lg 5)2+lg 2lg 5+lg 4-log34×log23=________. 答案 -1 解析 原式=lg 5(lg 5+lg 2)+-×=lg 5+lg 2-2=1-2=-1. 题型二 对数函数的图象及应用 例2 (1)已知函数f(x)=loga(2x+b-1)(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则a,b满足的关系是( ) A.0<a-1<b<1 B.0<b<a-1<1 C.0<b-1<a<1 D.0<a-1<b-1<1 答案 A 解析 由函数图象可知,f(x)为增函数,故a>1. 函数图象与y轴的交点坐标为(0,logab), 由函数图象可知-1<logab<0, 解得<b<1. 综上,0<a-1<b<1. (2)(2023·佛山模拟)已知函数f(x)=|ln x|,若0<a<b,且f(a)=f(b),则a+2b的取值范围是________. 答案 (3,+∞) 解析 f(x)=|lnx|的图象如图, 因为f(a)=f(b), 所以|ln a|=|ln b|, 因为0<a<b, 所以ln a<0,lnb>0, 所以0<a<1,b>1, 所以-ln a=ln b, 所以ln a+ln b=ln(ab)=0, 所以ab=1,则b=, 所以a+2b=a+, 令g(x)=x+(0<x<1), 则g(x)在(0,1)上单调递减, 所以g(x)>g(1)=1+2=3, 所以a+2b>3, 所以a+2b的取值范围为(3,+∞). 思维升华 对数函数图象的识别及应用方法 (1)在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解. 跟踪训练2 (1)已知lg a+lg b=0(a>0且a≠1,b>0且b≠1),则函数f(x)=ax与g(x)=的图象可能是( ) 答案 B 解析 ∵lg a+lgb=0(a>0且a≠1,b>0且b≠1), ∴ab=1,∴a=, ∴g(x)==logax,函数f(x)=ax与函数g(x)=互为反函数, ∴函数f(x)=ax与g(x)=的图象关于直线y=x对称,且具有相同的单调性. (2)(2023·濮阳模拟)已知a>0且a≠1,函数y=ax的图象如图所示,则函数f(x)=loga(-x+1)的部分图象大致为( ) 答案 D 解析 由函数y=ax的图象可得a>1. 当a>1时,y=logax经过定点(1,0),为增函数. 因为y=logax与y=loga(-x)关于y轴对称,所以y=loga(-x)经过定点(-1,0),为减函数. 而f(x)=loga(-x+1)可以看作y=loga(-x)的图象向右平移一个单位长度得到的, 所以f(x)=loga(-x+1)的图象经过定点(0,0),为减函数.结合选项可知选D. 题型三 对数函数的性质及应用 命题点1 比较对数式的大小 例3 (2023·武汉质检)已知a=log30.5,b=log3π,c=log43,则a,b,c的大小关系是( ) A.a<b<c B.b<a<c C.a<c<b D.c<a<b 答案 C 解析 a=log30.5<log31=0,即a<0; b=log3π>log33=1,即b>1; 0=log41<log43<log44=1,即0<c<1, ∴a<c<b. 命题点2 解对数方程、不等式 例4 若loga(a+1)<loga(2)<0(a>0,且a≠1),则实数a的取值范围是________. 答案 解析 由题意loga(a+1)<loga(2)<loga1, 得或 解得<a<1. 命题点3 对数函数的性质及应用 例5 (2023·郑州模拟)设函数f(x)=ln|x+3|+ln|x-3|,则f(x)( ) A.是偶函数,且在(-∞,-3)上单调递减 B.是奇函数,且在(-3,3)上单调递减 C.是奇函数,且在(3,+∞)上单调递增 D.是偶函数,且在(-3,3)上单调递增 答案 A 解析 函数f(x)的定义域为{x|x≠±3}, f(x)=ln|x+3|+ln|x-3|=ln|x2-9|, 令g(x)=|x2-9|, 则f(x)=ln g(x), 函数g(x)的单调区间由图象(图略)可知, 当x∈(-∞,-3),x∈(0,3)时,g(x)单调递减, 当x∈(-3,0),x∈(3,+∞)时,g(x)单调递增, 由复合函数单调性同增异减得单调区间. 由f(-x)=ln|(-x)2-9|=ln|x2-9|=f(x)得f(x)为偶函数. 思维升华 求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题,必须弄清三个问题:一是定义域;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成. 跟踪训练3 (1)(2023·开封模拟)已知函数f(x)=loga(6-ax)(a>0,且a≠1)在(0,2)上单调递减,则实数a的取值范围是( ) A.(1,3] B.(1,3) C.(0,1) D.(1,+∞) 答案 A 解析 令t(x)=6-ax,因为a>0,所以t(x)=6-ax为减函数. 又由函数f(x)=loga(6-ax)在(0,2)上单调递减, 可得函数t(x)=6-ax>0在(0,2)上恒成立,且a>1, 故有解得1<a≤3. (2)(2022·惠州模拟)若函数f(x)=loga(a>0,且a≠1)有最小值,则实数a的取值范围是________. 答案 (1,) 解析 令u(x)=x2-ax+=2+-, 则u(x)有最小值-, 欲使函数f(x)=loga有最小值, 则有 解得1<a<,即实数a的取值范围为(1,). 课时精练1.函数f(x)=的定义域为( ) A. B. C. D.[1,+∞) 答案 A 解析 由题意,要使函数f(x)=有意义,则满足log0.5(2x-1)≥0, 所以0<2x-1≤1,解得<x≤1,即函数f(x)的定义域为. 2.若函数f(x)=logax(a>0,且a≠1)的反函数的图象过点(1,3),则f(log28)等于( ) A.-1 B.1 C.2 D.3 答案 B 解析 依题意,函数f(x)=logax(a>0,且a≠1)的反函数,即函数y=ax的图象过点(1,3), 则a=3,f(x)=log3x,于是得f(log28)=log3(log28)=log33=1, 所以f(log28)=1. 3.函数f(x)=log2(|x|-1)的图象为( ) 答案 A 解析 函数f(x)=log2(|x|-1)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),排除B,C; 由f(-x)=log2(|-x|-1)=log2(|x|-1)=f(x), 可知函数f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,排除D. 4.按照“碳达峰”“碳中和”的实现路径,2030年为碳达峰时期,2060年实现碳中和,到2060年,纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%,新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口.Peukert于1898年提出蓄电池的容量C(单位:Ah),放电时间t(单位:h)与放电电流I(单位:A)之间关系的经验公式:C=In·t,其中n为Peukert常数,为了测算某蓄电池的Peukert常数n,在电池容量不变的条件下,当放电电流I=20 A时,放电时间t=20 h;当放电电流I=30 A时,放电时间t=10 h.则该蓄电池的Peukert常数n大约为( ) (参考数据:lg 2≈0.30,lg 3≈0.48) A. B. C. D.2 答案 B 解析 根据题意可得C=20n·20,C=30n·10, 两式相比得=1,即n=, 所以n= ==≈=. 5.已知函数f(x)=log2(x+1)-|x|,则不等式f(x)>0的解集是( ) A.(-1,1) B.(0,1) C.(-1,0) D.∅ 答案 B 解析 不等式f(x)>0⇔log2(x+1)>|x|, 分别画出函数y=log2(x+1)和y=|x|的图象, 由图象可知y=log2(x+1)和y=|x|的图象有两个交点,分别是(0,0)和(1,1), 由图象可知log2(x+1)>|x|的解集是(0,1), 即不等式f(x)>0的解集是(0,1). 6.(多选)已知函数f(x)=|loga(x+1)|(a>1),下列说法正确的是( ) A.函数f(x)的图象恒过定点(0,0) B.函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减 C.函数f(x)在区间上的最小值为0 D.若对任意x∈[1,2],f(x)≥1恒成立,则实数a的取值范围是(1,2] 答案 ACD 解析 将(0,0)代入函数f(x)=|loga(x+1)|(a>1),成立,故A正确; 当x∈(0,+∞)时,x+1∈(1,+∞),又a>1,所以f(x)=|loga(x+1)|=loga(x+1),由复合函数单调性可知,当x∈(0,+∞)时,f(x)=|loga(x+1)|=loga(x+1)单调递增,故B错误; 当x∈时,x+1∈,所以f(x)=|loga(x+1)|≥loga1=0,故C正确; 当x∈[1,2]时,f(x)=|loga(x+1)|=loga(x+1)≥1恒成立,所以由函数为增函数知loga2≥1,解得1<a≤2,故D正确. 7.(2023·淮北模拟)计算:-2+=______. 答案 10 解析 -2+=4+2+4=10. 8.函数f(x)=的最小值为________. 答案 - 解析 依题意得f(x)=log2x·(2+2log2x)=(log2x)2+log2x=2-≥-,当且仅当log2x=-,即x=时等号成立,所以函数f(x)的最小值为-. 9.已知f(x)= (1)若a=2,求f(x)的值域; (2)若f(x)在(1,+∞)上单调递减,求a的取值范围. 解 (1)当a=2时,f(x)=, 令t=x2-2x+10=(x-1)2+9, ∴t≥9,f(x)≤=-2, ∴f(x)的值域为(-∞,-2]. (2)令u(x)=x2-ax+5a, ∵y=(x)为减函数, ∴u(x)=x2-ax+5a在(1,+∞)上单调递增, ∴ 解得-<a≤2, ∴a的取值范围是. 10.(2023·南昌模拟)已知函数f(x)=log3(9x+1)+kx是偶函数. (1)求k; (2)解不等式f(x)≥log3(7·3x-1). 解 (1)∵f(x)是偶函数, ∴f(-x)=f(x), 即log3(9-x+1)-kx=log3(9x+1)+kx对任意x∈R恒成立, ∴2kx=log3(9-x+1)-log3(9x+1)=log3=log33-2x=-2x, ∴k=-1. (2)由(1)得f(x)=log3(9x+1)-x=log3(9x+1)-log33x=log3=log3(3x+3-x), 则不等式f(x)≥log3(7·3x-1)等价于3x+3-x≥7·3x-1>0, 由7·3x-1>0,解得x>-log37; 由3x+3-x≥7·3x-1, 得6·(3x)2-3x-1≤0, 得0<3x≤, 即x≤-log32, 综上,不等式的解集为(-log37,-log32]. 11.若非零实数a,b,c满足2a=3b=6c=k,则( ) A.+= B.+= C.+= D.+= 答案 A 解析 由已知,得2a=3b=6c=k, 得a=log2k,b=log3k,c=log6k, 所以=logk2,=logk3,=logk6, 而2×3=6,所以+=. 12.(多选)关于函数f(x)=log2x+log2(4-x),下列说法正确的是( ) A.f(x)的最大值为1 B.f(x)在区间(0,2)上为增函数 C.f(x)的图象关于直线x=2对称 D.f(x)的图象关于点(2,0)对称 答案 BC 解析 函数f(x)=log2x+log2(4-x)=log2(4x-x2)(0<x<4), 当x=2 时,4x-x2 取到最大值4, 故此时f(x)=log2x+log2(4-x)取到最大值log24=2,A错误; f(x)=log2(4x-x2)(0<x<4)可以看作是由函数y=log2u,u=-x2+4x(0<x<4)复合而成,而y=log2u是定义域上的增函数, u=-x2+4x(0<x<4)在(0,2)上单调递增,在(2,4)上单调递减, 故f(x)在区间(0,2)上为增函数,在(2,4)上为减函数,故B正确; 因为函数f(4-x)=log2(4-x)+log2x=f(x),故f(x)的图象关于直线x=2对称,C正确; 因为f(4-x)=log2(4-x)+log2x=f(x)≠-f(x),故f(x)的图象不关于点(2,0)对称,D错误. 13.已知函数f(x)的定义域为R,图象恒过点(0,1),对任意x1,x2∈R,x1≠x2,都有>1,则不等式f(ln(ex-1))<1+ln(ex-1)的解集为( ) A.(ln 2,+∞) B.(-∞,ln 2) C.(ln 2,1) D.(0,ln 2) 答案 D 解析 因为>1,不妨设x1>x2, 则f(x1)-x1>f(x2)-x2,令g(x)=f(x)-x, 则g(x)在R上单调递增, 又f(0)=1, 则不等式f(ln(ex-1))<1+ln(ex-1), 等价于f(ln(ex-1))-ln(ex-1)<1=f(0)-0, 即g(ln(ex-1))<g(0),所以ln(ex-1)<0, 则0<ex-1<1,解得0<x<ln 2. 14.(多选)已知函数f(x)=若f(x)=a有四个解x1,x2,x3,x4且满足x1<x2<x3<x4,则下列命题正确的是( ) A.0<a<1 B.x1+2x2∈(3,+∞) C.x1+x2+x3+x4∈ D.x4∈[4,+∞) 答案 AC 解析 作函数f(x)=的图象如图所示, f(x)=a有四个解,即y=a与y=f(x)的图象有4个交点x1,x2,x3,x4且x1<x2<x3<x4, 可得0<a<1,故选项A正确; 由图象可得x1·x2=1,则=x2, ∴x1+2x2=x1+, ∵<x1<1,且1<x2<2,对勾函数y=x+在区间上单调递减,故当<x1<1时,x1+2x2=x1+∈,故B错误; x1+x2=+x1,∵<x1<1,∴+x1∈, ∵x3+x4=8, ∴x1+x2+x3+x4∈,故选项C正确; 令x2-8x+13=0,解得x=4±, 由图象可知x4∈(4+,6),故选项D错误. |
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