高中数学 | 解析几何中求最值的方法

一、利用圆锥曲线的定义

圆锥曲线的定义，是曲线上的动点本质属性的反映。研究圆锥曲线的最值，利用圆锥曲线的定义，可使问题简化。

例1、若使双曲线上一点M到定点A（7，）的距离与M到右焦点F的距离之半的和有最小值，求M点的坐标。

解析：如图所示，由双曲线定义2可知，，所以|MF|=2|MP|。令，即。此问题转化为折线AMP的最短问题。显然当A、M、P同在一条与x轴平行的直线上时，折线AMP最短，故M点的纵坐标为，代入双曲线方程得M（，）。

二、利用几何图形的对称性

对称思想是研究数学问题常用的思想方法，利用几何图形的对称性去分析思考最值问题。

例2、已知点A（2，1），在直线和上分别求B点和C点，使△ABC的周长最小。

分析：轴对称的几何性质以及两点间的距离以直线段为最短。

解析：先找A（2，1）关于直线、的对称点分别记为和，如图所示，若在、上分别任取点和，则△ABC周长=

周长。

故当且仅当、、、四点共线时取等号，直线方程为：，与、的交点分别为B（，）、C（，0）。

三、利用参数的几何意义

利用参数的几何意义，把它转化为几何图形中某些确定的几何量（如角度、长度、斜率）的最大值、最小值问题。

例3、椭圆内有两点A（4，0），B（2，2），M是椭圆上一动点，求|MA|+|MB|的最大值与最小值。

分析：若直接利用两点的距离公式，难度较大，通过椭圆定义转化后，利用几何性质可解决问题。

解析：|MA|+|MB|=2a-|MC|+|MB|=10+|MB|-|MC|，根据平面几何性质：||MB|-|MC||，当且仅当M、B、C共线时取等号，故|MA|+|MB|的最大值是

，最小值是。

 

四、利用代数性质

将问题里某些变化的几何量（长度、点的坐标、斜率、公比）设为自变量，并将问题里的约束条件和目标表示为自变量的解析式，然后利用代数性质（如配方法、不等式法、判别式法等）进行解决，可使问题简单化。

例4、过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦AC、BD，求四边形ABCD面积的最小值。

解析：设AC的直线方程，，由消去x得
△=。故|AC|=，由AC⊥BD，故BD的斜率为，。故，所以。

五、利用三角函数的性质

适用适当的角作为自变量，把所求的问题表达成三角函数式，然后利用三角函数的性质去解决问题。

例5、A为椭圆上任一点，B为圆上任一点，求|AB|的最短距离。

分析：|AB|+|BC|，且|BC|=1，故要求|AB|的最小值，只要求|AC|的最小值，而要求|AC|最值，只需利用椭圆的参数方程求解。

解析：设，C（1，0），故

|AC|==，于是，即|AB|

=。