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一万二千年前，两河流域开始进入新时期时代，出现农业、畜牧业，人们开始定居。自然而然，在生产实践中人们对数学的需求越来越多。根据目前发现的文物，人们有理由相信数学起源于两河流域和埃及。而两河流域和埃及数学虽然有不少相同之处，但他们又有各自的特点。埃及注重实用，而两河的数学难度大，理论水平更高。 先谈谈埃及数学 尼罗河下游每年定期发大水，带来了淤泥和肥料。水退去后，埃及人开始播种，之后无需更多的管理，静等收获。这种大自然的恩赐也带来了一个小小的问题，埃及人每年必须重新测量被大水淹没的自家土地。另外，埃及人在建造金字塔时，必须计算土方和需要的石块数量，以及计划相应的运输。在生产实践中，埃及人有了面积和体积的“定义”，创造了乘与除的“算法”以及如何求解“方程”。 各种语言中都有表示“数”的文字，比如“百”“千”等数量词。“五百七十”清楚表示了数的大小。但是，必须强调的是，五百七十归根结底是“文字”不是“数字”。数字是用于表示数目大小的“专用符合”，能参与运算。今天全世界都在用的0到9十个“数字符号”是印度在2千年前发明的。而5000年前的埃及数字当然还非常原始。 数字“1”就是一竖，数的写法本身是加法。从而相加相减无师自通。应该说清楚的是，埃及数字虽然是“十进制”，但它是“自然十进制”。人有十个手指，每次用手数到十后就数不下去了，只有做个记号才能继续数，这里做个记号实际上是“进位”。显然“自然十进制”与我们今天使用的、含有“0”和“位数”的十进制有本质区别。 数字的出现不仅因为记录的需要，更是因为计算的需要。换句话说，没有数字就没有计算。那时的计算过程不过是加减乘除和开根号。乘法是加法的自然延伸，除法出自减法。这种逻辑关系在埃及的乘法运算过程中非常清晰。除法中会出现除不尽的情况，所以埃及人发明了分数。 下面的例子解释了埃及乘法，比如47乘24，表中第一列是47每次翻倍的数值，即下一列等于自己加自己，第三列从1开始，下一列也是自己的倍数；“1”，“2”和“4”等。接下来要在第三列中“找出”24是哪几个数的和，答案是8+16。我们在中间一列“8”和“16”的旁边坐上记号“0”。47乘24的答案是376+752。 按今天的写法，埃及乘法的数学意义一目了然：47*24=47*（8+16）=376+752。与今天小学生都会写出的算式相比，埃及乘法异常复杂。但是，人类历史上最早的“算法”诞生了。这里令人惊叹的地方在于，埃及人知道任何一个数都可以用数列2^（n-1）中若干项的和表示。这里已经埋下了数论的种子。 除法是乘法的逆运算，基础是减法。比如，329除以12.下表中第三项“1,2,4,8”等，与乘法表中的第三列一致。第一列是除以12的倍数，24，48, 96等。329除以任何整数的结果肯定比329小，所以第一列最大的数是写到384为止。与乘法一样，运算过程也需要“凑合”。用被除数329试着逐个减第一列的数，从大数开始。329减192得137，137再减96得41。41比48小，不够减时直接跳过去，并在中间一列不写记号“0”。41减24得17,17减12得5。 写成现在的算式： 不难看出，当数字很大时埃及乘除法计算复杂。实际上，在印度记数法和相应的乘除法传到世界各地前，“会算术的人”寥若晨星。 至今发现的埃及莎草纸文书中，含有大量的数学内容。下面介绍两份数学文献。 莱因德文稿是3600年前用墨水写在莎草纸上的“数学教材”，作者写明文稿是他从另一本200年前的书中抄写的。说明莱因德文稿至少反映了埃及3800年前的数学水平。文稿长5米44，宽33厘米。先给出具体问题，再给出解释过程和答案，内容涉及分数简化，解方程，面积和体积的计算，共84个问题。文稿中出现的图形有圆、正方形、等腰三角形等。圆面积等于直径九分之八的平方，换算后圆周率为3.16。 莱因德文稿第70题，计算100除以（7+1/2+1/4+1/8）。过程与上面的除法相似，很精彩。计算结果为12+2/3+1/42+1/126。那时，埃及对分数的写法非常讲究，除了三分之二和四分之三有两个专用符号外，其他分数的分子统统必须是1.所以，莎草纸文献中有很多分数简化表。 现在小学四年级学生都知道方程ax=c（a和c是常数，x代表未知数）的答案是c/a，但是四千年前的埃及人还不知道答案如此简单。但是埃及有自己解方程的算法，先“凑”再算。即，先任意估计一个答案x1，算出结果“c1”（=a·x1）。则x=x1·c/c1。这说明埃及人很聪明？还是很笨呢？ 莱因德文稿中24题：一个数加上它的七分之一等于19，问该数等于多少。文稿给出了详细的计算步骤。埃及解方程的试算法在汉代的《九章算术》中，不过时间上晚了1700年。 与莱因德文稿同负盛名的是莫斯科文稿。当年被俄国人买下现存放在莫斯科，由此得名。莫斯科文稿比莱因德文稿要早200年，但两份文稿长度，都是5米44。说明当时莎草纸在埃及已经批量生产。有文献记载，因为巴比伦不时武力挑衅，埃及后来禁止莎草纸出口，这是题外话。 莫斯科文稿第6题：长方形面积为12，宽是长的四分之三，问边长是多少。这实际上是解一元二次方程，说明埃及人已经会开方。当然，肯定还是“凑”。 莫斯科文稿中最有名的题目是：正方形底边长4，正方形顶边长为2，正四棱台高为6，问体积是多少。作者给出了答案和解答过程。这意味着，3800年前埃及人已经知道正四棱台的计算公式是1/3（a2+ab+b2）h。 如果你静下心来仔细想一想，这一结果令人惊奇。因为公式中含有“面积”和“体积”的定义，即如何定量的描述面积和体积。3乘2在数值上等于3个2相加。长方形边长分别等于3和2时，其面积也等于3乘2。都是3乘2，但此“乘”和彼“乘”有本质的不同。计算面积的“乘”已经不是3个2相加的“乘”。对埃及人来讲，矩形面积的计算已被“定义”为边长相乘。同理，先有几何意义上“体积”的概念，然后才有体积计算：面积乘“高”。 莫斯科文稿中共有25个问题。与莱因德文稿不一样，其问题并不按照内容分类，而且文稿上有评语，比如“这题做对了”等。所以有人认为莫斯科文稿是考试卷。 按今天的说法，3800年前埃及已经有了“狂草”。显然，书写体大大简化了书写的难度。埃及人用来写字的笔也是一种空芯的草，类似毛笔。 4000年前埃及数学主要是解决生产劳动中出现的具体问题，还没有“理论”。英语“GEOMETRY”出自希腊语，意思是土地测量。希腊人在公元前7世纪全盘继承了埃及和两河流域的数学、几何知识。到公元前3世纪，欧几里得《几何原理》问世，人类科学史上第一部里程碑式的巨作终于大功告成。毫无疑问，欧几里得是站在了巨人的肩膀上。 特别鸣谢中科院自动化所王飞跃教授的推荐，本文原载于欧洲新报。 |
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