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（文/方弦） 现代的数学基础是公理化集合论，它的历史就是第三次数学危机，从康托尔开始，集合论在通过公理体系摆脱种种悖论之后，才得以建立，成为众人认为相当稳固的基础。 但公理化集合论也并非就此一家。 首先，公理化的方法有很多种。最常用的是策梅洛-弗兰克（Zermelo-Fraenkel）公理体系加上选择公理（通称ZFC），除此之外还有冯诺依曼-博内斯-哥德尔（von Neumann-Bernays-Goedel）公理体系、塔斯基-格罗滕迪克（Tarski-Grothendieck）公理体系和莫尔斯-凯利（Morse-Kelley）公理体系。它们之间各有千秋。 其次，即使拥有了某个公理体系，如果它足够强大，能够表达自然数的话，那么必定存在它内部无法证明的真命题。这是哥德尔不完备性定理的断言。所以，任何足够强大而又合理的公理体系（精确的数学术语是递归可枚举），只要不能推出任何命题，那么就必定存在与其完全独立的命题，在公理体系内部无法被证明也无法被否定。就最常用的ZFC而言，康托尔提出的连续统假设就是这么一个例子。其他例子还包括一些不可达基数的存在性。 但这些并不算是争议，因为每个数学家都知道它们的存在。 数学跟物理不一样。物理可以提出诸多理论，但最终总要放到现实世界进行检验。但数学没有这一点要求。事实上，可以说不同的公理体系就描述了不同的数学，而这些数学在体系内部都是正确的。 数学并不会告诉你什么天然就是对的，数学告诉你的是，如果你承认某种假设，那么就会导出某种结论。我们平时能将数学应用到实际生活中，实际上是因为现实世界完全或者大体符合相应数学理论的大前提，所以我们能够通过数学的方法来导出结论。 对于现代数学来说，拥有多种不同的公理体系，其实也没有很大的问题，因为这些公理体系，相似之处远远多于分歧。从数学分析到交换代数，从微分方程到运筹规划，它们依赖的只是公理体系中非常小的一部分，而这些部分在现存的很多公理体系中都是完全相同的。当然，分歧之处也是有用的，比如在证明论中，偶尔也会用到不可达基数。 其实，“现代数学的基础理论”这种说法，本身就有问题。与其说现代数学建基于某个公理体系，倒不如说现代数学选择了某个公理体系，用以将自身形式化稳固化，但数学真理本身是不变的（在模型论的意义上）。每个人都可以构建自己的公理体系，但如果你的公理体系在数学中没有应用，不符合数学家的实际需求的话，那么它就必将被淘汰。事实上，我们有这么多的理论体系，部分原因也是某些数学家在进行研究时，觉得现有的体系不足以完成相应的工作，于是才从现有体系中构建新的体系。随着相应数学分支研究的深入，新体系也就此固定了下来。 有人这样评价过第三次数学危机：万丈高楼地下室吹进了一阵强风，把蜘蛛网吹乱了，蜘蛛就急急忙忙修修补补，以为蜘蛛网支撑了整幢大楼。所谓“数学的基础理论”，无非就是个蜘蛛网。 |
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