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本文转载自【吴国平数学教育】并得到授权添加原创标志！ 在中考数学中，函数与几何综合问题有多重要，我想不用老师多说，大家心里都很清楚。此类问题一般是把几何图形“植入”平面直角坐标系中，再结合函数的图像和性质，从而形成函数与几何综合性较强的中考试题，大部分都是以压轴题的形式出现。 应很多读者朋友的要求，今天我们一起来讲讲反比例函数与几何相关的综合问题，希望能更好帮助大家学好此块内容，战胜中考。 函数与几何综合问题最大的特点就是“数”与“形”相互结合、相互渗透，反比例函数与几何相关的综合问题也不例外。其次在现实生活中，也存在着大量的反比例关系，影响着我们生活方方面面，通过反比例函数知识内容的学习，学生学会把这些实际问题转化成反比例函数来解决，从而达到提高分析问题、解决实际问题的能力。 那么什么是反比例函数呢？ 一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=k/x (k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数。 因为y=k/x是一个分式，所以自变量X的取值范围是X≠0。 y=k/x有时也被写成xy=k或y=k·x-1。 表达式为：x是自变量，y是因变量，y是x的函数。 中考数学，反比例函数与几何综合问题，典型例题分析1： 如图，反比例函数y=k/x的图象经过点A（-1,4),直线y=-x + b(b≠0) 与双曲线y=k/x在第二、四象限分别相交于P，Q 两点，与x轴、y 轴分别相交于C,D 两点. (1)求k 的值; (2)当b=-2 时，求△OCD 的面积； (3)连接OQ，是否存在实数b,使得S△ODQ=S△OCD？ 若存在，请求出b 的值；若不存在，请说明理由. 解：（1）∵反比例函数y=k/x的图象经过点A （﹣1，4 ）， ∴k= ﹣1×4= ﹣4 ； （2 ）当b= ﹣2 时，直线解析式为y= ﹣x ﹣2 ， ∵y=0 时，﹣x ﹣2=0 ，解得x= ﹣2 ， ∴C （﹣2 ，0 ）， ∵当x=0 时，y= ﹣x ﹣2= ﹣2 ， ∴D （0，﹣2 ）， ∴S△ OCD=2×2/2=2 ； （3 ）存在． 当y=0 时，﹣x+b=0 ，解得x=b ， 则C （b ，0 ）， ∵S△ ODQ=S△ OCD， ∴点Q 和点C 到OD 的距离相等， 考点分析： 反比例函数与一次函数的交点问题；计算题。 题干分析： （1）根据反比例函数的图象上点的坐标特征易得k= ﹣4 ； （2 ）当b= ﹣2 时，直线解析式为y= ﹣x ﹣2 ，则利用坐标轴上点的坐标特征可求出C （﹣2 ，0 ），D （0，﹣2 ），然后根据三角形面积公式求解； （3 ）先表示出C （b ，0 ），根据三角形面积公式，由于S△ ODQ=S△ OCD ，所以点Q 和 点C 到OD 的距离相等，则Q 的横坐标为（﹣b ，0 ），利用直线解析式可得到Q （﹣b ，2b ），再根据反比例函数的图象上点的坐标特征得到﹣b ·2b= ﹣4 ，然后解方程即可得到满足条件的b的值。 解题反思： 本题考查了反比例函数与一次函数的交点：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点。也考查了反比例函数图象上点的坐标特征和三角形面积公式。 k在反比例函数中是一个非常重要的量，很多问题的正确解决关键就在于如何用这个k。 如确定反比函数解析式我们一般采用的是待定系数法，而在反比例函数解析式y=k/x中，只需确定一个待定系数k。因此求反比例函数的解析式只需要确定一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。 k不仅能帮助我们确定反比例函数的解析式，更具有特殊的几何意义。如过反比例函数y=k/x（k≠0）图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PM，PN，则所得的矩形PMON的面积S=PM ·PN=|y| ·|x|=|xy|。 ∵y=k/x ∴xy=k,S=|k|。 中考数学，反比例函数与几何综合问题，典型例题分析2： 如图，反比例函数y=k/x（k≠0，x＞0）的图象与直线y=3x相交于点C，过直线上点A（1，3）作AB⊥x轴于点B，交反比例函数图象于点D，且AB=3BD． （1）求k的值； （2）求点C的坐标； （3）在y轴上确定一点M，使点M到C、D两点距离之和d=MC+MD最小，求点M的坐标． 考点分析： 反比例函数与一次函数的交点问题；轴对称-最短路线问题． 题干分析： （1）根据A坐标，以及AB=3BD求出D坐标，代入反比例解析式求出k的值； （2）直线y=3x与反比例解析式联立方程组即可求出点C坐标； （3）作C关于y轴的对称点C′，连接C′D交y轴于M，则d=MC+MD最小，得到C′的坐标，求得直线C′D的解析式，直线与y轴的交点即为所求。 解题反思： 此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，以及直线与反比例的交点求法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键。 反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。反比例函数图象中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（y≠0）。 通过对近几年中考数学试题的分析，我们发现反比例函数与几何综合问题，沟一般可以分为以下三大类: 1、利用反比例函数的比例系数的几何意义探究图形的面积或探究结构相同的若干个几何图形的面积间的规律； 2、根据几何图形的面积确定k的值； 3、以点的坐标为载体进行规律探究。 函数与几何综合问题最大的特点就是体现数形结合的数学思想方法，反比例函数相关综合问题也不例外，因此大家在解决反比例函数与几何综合问题时候，一定要认真学习、理解消化相关的数学思想方法，这样才能综合提高自身的解决问题能力。 |
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