曲面划分的刀轴矢量规划

闵 莉，董 帅，李 典

（沈阳建筑大学 机械工程学院，辽宁 沈阳 110168）

摘 要：在对复杂曲面加工过程中往往会遇到曲率变化过大的区域，这将导致相邻刀触点的刀轴矢量发生剧烈波动，影响加工质量，同时也会使得机床的稳定性下降。针对这一问题，提出一种基于曲面划分的刀轴矢量规划方法。该方法通过离散曲面，并计算各离散点的高斯曲率与平均曲率，以此为依据将曲面划分为多个区域。依次规划每个区域的刀轴矢量，对于出现的局部突变点进行优化。该方法有效地减小了刀轴矢量变化率。通过仿真实验分析验证了该方法的有效性。

关键词：五轴数控加工；刀轴矢量；曲面划分；曲率

1 引言

目前，五轴机床数控加工技术已经成为加工复杂曲面的手段之一。五轴数控和三轴数控的主要区别在于：通常情况下，三轴加工的刀轴方向在工件坐标系中是无法变化的，而五轴加工的刀轴方向能够灵活的改变。虽然这一特点提高了五轴机床加工的灵活性，但是也出现了刀轴矢量的控制约束问题。刀轴矢量直接影响加工效率和加工质量，所以刀轴矢量控制是否合理对于复杂曲面的加工具有很重要的意义。理想的刀轴控制是随曲面形状和工艺状态的变化而对刀轴矢量方向进行自适应调整，以提高零件的加工精度和效率，又能避免可能存在刀具干涉问题。

法线加工法[1]是CAM软件中比较常用的刀轴规划方法，即刀轴方向与刀触点法矢具有一致的方向。此方法最大的问题是，在复杂曲面加工过程中，经常会遇到在某个区域曲率变化会非常大的情况，这样会导致曲面的法线方向在很短的距离内有巨大的变化，该方向的刀轴矢量也会剧烈变化，如图1（a）所示。会引起加工误差变大的问题。另一种方法是预设刀轴方法，这个方法是让刀轴矢量与曲面法矢呈一定角度，但是这种方法的问题是容易造成局部过切的问题，如图1（b）所示。

图1 传统刀轴矢量规划方法
Fig.1 Traditional Tool Orientation Planning Method

基于以上考虑，刀轴矢量规划应满足以下两点：（1）同一条轨迹上相邻两个刀触点应该具有变化量尽可能小的刀轴矢量。（2）刀具需要避免局部干涉的情况发生。

提出一种基于曲面分区的刀轴矢量规划方法，首先依据曲率与曲面特征对曲面进行区域划分，依据曲面区域边界线规划刀具路径，用法线加工法在刀具路径上设计刀轴矢量，对于局部曲率变化过大的区域采用三次样条插值来平滑刀轴矢量，达到降低刀轴矢量变化率的目的。

2 曲面分区

2.1 曲面模型

在CAD/CAM/CNC这三个系统中，NURBS（非均匀有理b样）是最常用的参数曲面表示方法[2]。NURBS曲面的定义如下：

式中：Pi，j—三维控制顶点；Wi，j—Pi，j对应权值；n 和 m—u 向和 v 向控制点数目，所有控制点形成一张空间四边形网格；Ni，p（u）和Nj，q（v）—沿u向的第i个p次和沿v向的第j个q次B样条基函数；p和q—u和v的最高次幂。u向和v向的B样条基函数可根据de Boor-Cox递推公式计算[3]。

2.2 复杂曲面的几何参数

复杂曲面包括凹曲面、凸曲面、马鞍面，平面等。在这里依据复杂曲面的高斯曲率与平均曲率来对曲面进行区域划分，曲面特征的定义如下。

NURBS曲面S（u，v）为正则曲面，曲面在其上每一点的切空间是由切向矢量Su（u，v）和Sv（u，v）组成的二维矢量空间[4]，E、F、G是第Ⅰ类基本量，由式（2）定义:

式中：L、M、N—第Ⅱ类基本量，由式（3）定义:

任一点的切矢量 δS（u，v）=Su（u，v）δu+Sv（u，v）δv 是曲面 S（u，v）的一个主方向，则（δu，δv）满足线性方程组:

高斯曲率K、平均曲率H的计算公式由求解上式得到：

曲面的平均曲率和高斯曲率与方向无关，且高斯曲率是曲面的内在特性。通过高斯曲率K和平均曲率H的正负可以判断曲面上点的类型，如表1所示。

表1 曲面上点的类型
Tab.1 Basic Surface Types According to Parameter K and H

K＜0 K=0 K＞0 H＞0 凹椭圆点 凹抛物点 双曲点H=0 平面H＜0 凸椭圆点 凸抛物点 双曲点

2.3 曲面区域划分

如图2（a）所示，建立曲面模型，并进行三角网格划分，如图2（b）所示。对复杂曲面进行空间离散，得到整张曲面的离散点，如图2（c）所示。然后计算曲面离散点处的高斯曲率K、平均曲率H、主曲率、法矢及干涉参数等曲面局部信息参数，根据表1所示的曲面点的类型分类，即各曲面片之间的边界提取主要根据离散点处的高斯曲率和平均曲率符号确定。如果高斯曲率和平均曲率的几何意义没有发生改变，则此离散点为前一个离散点子集；反之则为边界点，并进入下一个具有某种几何意义的离散点子集的识别环节。当搜索完所有的离散点后把边界点连成线，曲面便被划分为多个几何特征明显的曲面片，如图2（d）所示。对复杂曲面分片规划的流程，如图3所示。

图2 曲面区域划分
Fig.2 Divided Surface

图3 曲面分区流程图
Fig.3 The Flow Chart of Surface Method

3 刀轴矢量规划

在刀轴矢量规划方面，主要是避免刀轴剧烈波动所带来的加工质量下降等问题。降低刀轴矢量变化率有以下几大类方法：（1）基于刀具全局可达性的方法[5-6]。这种方法缺点在于刀位点数据比较大，降低计算效率。（2）固定刀轴的方法[7]，这种方法只能局限于曲率变化较小的曲面，对曲率剧烈变化的曲面有一定限制。

提出一种简单的规划思路，针对于实际加工可以快速有效的规划。

3.1 刀轴矢量的参数

首先建立刀具坐标系，定义刀具姿态。如图4所示，图中：ε—需要加工的复杂曲面；（O-XYZ）—工件坐标系；Pc—刀具与加工表面的接触点；Ot—刀具的中心点。以Pc为坐标原点建立工件局部坐标系（Pc-XL YL ZL），式中：YL—刀触点的走刀方向；ZL—刀触点法矢方向，XL则根据右手定则确定。以Ot为坐标原点建立刀具坐标系（Ot-Xt Yt Z）t，Yt轴方向是刀具运动方向，Zt轴方向沿刀轴方向，Xt轴方向根据右手定则确定。如图4所示，刀具姿态一般由刀具转角λ与刀具倾角θ表示。一般情况下λ），θ∈）。由于刀具倾角对表面加工质量影响较大，而刀具转角主要影响切削带宽，所以刀轴矢量的优化本质上就是对刀具倾角的优化。所以仅讨论刀倾角λ的变化。

图4 曲面五轴数控加工模型
Fig.4 The Model of 5-Axis Surface CNC Machining

3.2 刀轴矢量规划方法

通常对于刀轴矢量的控制会采用法线加工法，即刀轴矢量与刀触点法矢方向一致。但是当遇到曲率变化较为剧烈的曲面，曲面的法矢方向也会发生突变，如图5所示，从平坦区域1过渡到区域2的过程中，曲率发生了变化，使得相应刀触点的刀轴矢量也发生了变化，容易造成刀具倾角变化率过大。为避免刀轴矢量变化率过大以及变化频繁，需要保持刀轴矢量的平滑性和一致性。

提出一种基于曲面分区的刀轴矢量规划方法。如图6所示，即基于前文提出的分区方法，首先依据曲面曲率与曲面特征将曲面划分为若干曲面特征相似的子区域，并将子区域的边界线作为刀具初始轨迹。若子区域为平坦区域Si，则采用法线加工法生成刀轴矢量（λi，θi），采用等参数线法生成刀具轨迹，提高加工效率。若子区域为凹曲面与凸曲面区域Sj，采用等残留高度法[8]生成刀具轨迹，沿着所生成的刀具路径采用法线加工法生成刀轴矢量（λj，θj）。但是由于曲面Sj的复杂性，可能会出现同一条轨迹上的相邻两个刀触点的刀倾角发生突变现象。如图5所示，刀轴矢量Vi与相邻刀轴矢量Vi+1变化率过大，即刀倾角差值Δλ大于阈值ψ（阈值ψ的取值依据实际加工情况而定），使得刀轴矢量变化产生奇异。为解决这一问题，在这里引入三次样条插值法[9]，即在Vi与Vi+1之间构造一个三次样条函数，计算得到并插入新刀轴矢量Vj来平滑刀轴矢量。新插值刀轴矢量计算，如式（7）所示：

式中：h=vi+1-vi；φ—插值基函数。

图5 刀轴变化示意图
Fig.5 Tool Orientation Change

图6 刀轴矢量规划流程图
Fig.6 The Flow Chart of Tool Orientation Planning

4 实例与数据分析

为了验证所提出策略的有效性，利用MATLAB软件进行仿真分析，为了方便分析，这里阈值ψ的取值为5°。首先建立的曲面模型，如图2（a）所示。根据之前所提到的曲面分区算法，将曲面划分为A、B、C三个区域，如图7所示。利用等等参数线法和残留高度法生成的轨迹以及用法线加工法生成的刀轴矢量图，如图8所示。

图7 分区曲面模型
Fig.7 The Model of Surface Divided

图8 刀轴矢量仿真
Fig.8 The Tool Orientation Simulation

对比分区前后的刀轴矢量图，如图8（a）所示。未分区前当刀具沿着轨迹从A区域行进到B区域时，刀具倾角发生了比较剧烈的偏转，如图8（b）所示，分区后每个区域刀具轨迹上的刀轴矢量都保持了方向的一致性。

如图8所示，选取图中加粗的刀具轨迹线上的刀具倾角数据，计算同一刀具轨迹上相邻刀触点的刀倾角差值，生成图9所示曲线图。对比未分区与分区后的刀倾角差值曲线图发现，图9（a）中5条轨迹线上刀触点对应的刀倾角差值，在中间部分发生了较大的波动，并且大部分刀倾角差值Δλ＞ψ，曲线起伏过大也就意味着相邻刀触点之间的刀倾角波动较为剧烈。图9（b）所示，经过曲面分区之后5条轨迹线上的刀倾角插值较分区之前更为平缓，但是在局部区域出现了大于阈值ψ的尖点，这会影响刀轴矢量的平滑性，对这些尖点区域采用三次样条插值法进行优化，优化结果，如图9（c）所示。从图中可以看出，曲线上的尖点基本消除。如表2所示的刀倾角偏差值，分区之后的刀倾角偏差值较分区前下降了53.12%，采用插值法优化后偏差值较优化前下降了11.72%。

图9 同一轨迹相邻刀触点刀倾角差值
Fig.9 The Same Path Adjacent Cutter Contact Angle Difference

表2 刀倾角的偏差值
Tab.2 The Tool Angle Deviation

轨迹1 轨迹2 轨迹3 轨迹5 轨迹4未分区 23.02881 22.97036 23.19447 23.61857 24.12523分区 未优化 8.586446 5.143779 12.46023 15.40817 13.21319优化后 8.730929 5.212194 11.53766 14.56471 8.343117

5 结论

刀倾角的波动变化，很大程度上会影响加工质量，尤其在对硬脆性材料进行加工时，由于刀倾角波动引起的切削力不均匀，很可能使得加工表面产生应力集中，出现裂纹，而造成刀倾角波动变化过大的主要原因就是复杂曲面曲率变化过大。实验结果表明，依据曲率划分曲面区域的分区规划策略，避免了当一条刀具轨迹通过两个曲率变化过大的区域时，同一条刀具轨迹上的刀轴矢量剧烈变化的问题，在局部突变区域采用的三次样条插值法进行优化，更进一步的改善了刀具倾角的变化率的波动，从而有效的提高了对于复杂曲面的加工质量。

参考文献

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Tool Orientation Planning Method Based on Divided Surface

MIN Li，DONGShuai，LIDian
（Shenyang Jianzhu University College of Mechanical Engineering，Liaoning Shenyang 110168，China）

Abstract：We usually find the curvature change enormously in the process of manufacturing complex surface.The phenomenon lead to violently fluctuations for the adjacent tool orientation，and it effect processing quality，and the stability of machine tools will decrease.It presented a planning methodology of tool orientation for 5-axis sculptured surface CNC machining base on divided surface.Frist，the discrete points of surface were generated，then Gaussian curvature and mean curvature was calculated.By using Gaussian curvature and mean，the surface was divided into multiple regions.We planned orderly tool orientation in each regions，mutational local area were optimized.The method reduce the rate of change with tool orientation effectively.Finally，the effectiveness of this method were verified by computer implementation and examples.

Key Words：Five-Axis NCMachining；Tool Orientation；Divided Surface；Curvature

中图分类号：TH16；TG506

文献标识码：A

文章编号：1001-3997（2017）12-0138-04

来稿日期：2017-06-12

基金项目：辽宁省自然科学基金项目（201602622）；辽宁省教育厅科学研究项目（L2015447）；沈阳建筑大学重点实验室开放基金资助项目（SJSC-2015-11）；沈阳建筑大学学科涵育计划（XKHY2-37）；沈阳市科技计划项目（172005）

作者简介：闵 莉，（1974-），女，辽宁人，博士研究生，副教授，主要研究方向：数字化制造技术、数控加工；董 帅，（1992-），男，宁夏人，硕士研究生，主要研究方向：数字化制造技术与应用