V型缺口应力集中系数分析及应用

V型缺口应力集中系数分析及应用

刘 斌 1，李 涛 2，张开林 1，刘 旭 1

（1.西南交通大学 牵引动力国家重点实验室，四川 成都 610031；2.广州电力机车有限公司，广东 广州 510850）

摘 要：为了分析V型缺口的应力集中系数，引入Filippi缺口应力场方程，计算了对称拉伸（Ⅰ型）和反对称剪切（Ⅱ型）两种载荷类型下的应力场参数。建立拉伸载荷下的V型缺口参数化模型，通过数值计算和理论分析结果比较，验证了Filippi方程的准确性。考虑到缺口根部的微观约束效应，采用Neuber应力平均概念和虚拟缺口半径方法，获得了缺口约束因子，虚拟缺口半径等与缺口参数之间的关系。在此基础上，采用有限元方法计算了尖锐V型缺口在不同约束尺寸和缺口角度下的平均应力集中系数和等效应力集中系数，两种缺口应力集中系数偏差基本保持在10%以下，表明所求解的缺口应力集中系数具有较高的可信度。最后将缺口应力集中系数应用在焊接接头的缺口应力分析中，从而避免了因单元尺寸不同而造成的结果差异。

关键词：V型缺口；缺口应力集中系数；Filippi方程；微观约束效应；有限元法

1 引言

工程结构中（如焊接接头，轴类构件等）广泛存在着V型缺口区域，而缺口区域又正是疲劳断裂发生的主要位置[1]。因此，准确求解缺口区域的应力状态和应力集中对于分析结构的疲劳强度具有十分重要的意义。

由于缺口应力场的复杂性，获取缺口应力集中系数通常依靠经验公式和试验手段[1]，而从理论上完全解决该问题则属于当前的研究任务。为了分析缺口应力集中对结构强度产生的不利影响，需要准确获取包括缺口尖端在内的整个缺口区域应力应变场。鉴于缺口角度2α和缺口半径ρ是影响缺口应力场的重要因素，如图1所示。因此，线弹性断裂力学的研究可为分析一般形式缺口提供了有效工具。V型缺口应力场的研究经历了一个漫长的过程：从文献[2]对尖裂纹的应力场求解开始（2α=0；ρ=0），文献[3]研究了尖锐V型缺口应力场（ρ=0），文献[4]讨论了钝裂纹的相关问题（2α=0）。文献[5]采用 Kolosov-Muskhelishvili[6]方法给出了不同缺口角度和不同缺口半径下应力场统一方程，之后文献[7]又考虑到平面尺寸效应对这一方程进行了改进。另外，文献[8-10]也做了类似的工作，但局限在求解缺口中心线上的最大主应力，而国内的文献[11-12]也对尖锐V型缺口的应力强度因子进行了分析。旨在利用平面V型缺口应力场方程并考虑材料在缺口区的微观约束效应，通过理论计算和数值分析，确定V型缺口的应力集中系数，并将其应用在工程结构分析中。

2 Filippi缺口应力场

众所周知，在断裂力学中，根据载荷形式不同将裂纹分为拉开型，剪开型和撕开型三类。同样，对于缺口问题，与研究裂纹方法相似，也可分解为三种平面模型[13]，即平面拉伸（Ⅰ型），平面剪切（Ⅱ型）以及平面外剪切（Ⅲ型）。拟采用Filippi的改进方法研究一般V型缺口Ⅰ型和Ⅱ型的应力集中问题。

Filippi为了导出一般形式的V型缺口应力场，采用著名的Kolosov-Muskhelishvili式（1），在 Lazzarin工作基础上，应力函数增加了dzμ项，所选取的双调和复变潜应力函数如式（1）-式（2）；借助于Neuber[13]曲线坐标系统，通过一系列坐标变化和边界条件引入，最终确定了任意V型缺口在平面对称拉伸和平面反对称剪切两种典型载荷模式下的应力场统一方程[7]式（3）～式（4）。

式中：a、b、c、d—复常数，如 a=a1+ia2，而 λ 和 μ 为实参数，也称为

Williams特征值[15]。

由式（3）、式（4）可知，在对称拉伸的情况下，缺口中心线上的剪切应力τrθ恒为0；而在反对称剪切情况下，则是周向应力σθ和径向应力σr恒为0。对于其中的未知参数，均与缺口角度2α和缺口半径ρ相关，具体求解方法文献[7]。通过计算给出了不同缺口角度下的参数值，如表1所示。

图1 V型缺口示意图
Fig.1 The Schematic Diagram of V-Notch

表1 平面拉伸（Ⅰ型）和平面剪切（Ⅱ型）缺口应力场相关参数
Tab.1 The Relevant Parameters of V-Notch Stress Fields About Plane Tensile（ModelⅠ）and In-Plane Shear（ModelⅡ）

2α λ1 μ1 χb1 χc1 χd1 λ2 μ2 χb2 χc2 χd2 0°0.5 -0.5 1 4 0 0.5 -0.5 1 -12 0 30°0.50 15-0.3 506 60°0.51 22-0.4 561 1.07 06 3.79 10 0.06 32 0.59 82-0.4 465 0.92 11-11.3 505-0.4 057 1.31 25 3.28 25 0.09 58 0.73 09-0.3 731 0.65 83-8.3 947-0.2 436 120°0.61 57-0.4 788 90°0.54 45-0.3 449 1.84 15 2.50 52 0.10 45 0.90 85-0.2 882 0.21 89-2.9 389 0.51 33 135°0.67 36-0.2 676 3.00 47 1.51 08 0.08 60 1.14 89-0.1 98-0.3 138 4.56 01 1.13 62 150°0.75 2-0.2 197 4.15 44 0.99 15 0.06 68 1.30 21-0.1 514-0.5 694 8.73 76-0.1 621 6.36 53 0.51 05 0.04 04 1.48 58-0.1 034-0.7 869 12.9 154 1.93 74

3 缺口应力方程的验证

在缺口应力场方程中，唯一未被确定的参数是a。如在Ⅰ型载荷作用下，利用缺口尖端的奇异性，即应力r=r0，θ=0处的周向应力是整个缺口平面内最大值σmax，可通过该特点获得系数a1与应力峰值的关系，如式（5）所示。代入V型缺口的具体参数，便可获得整个缺口区域内的应力比σ/σmax。

对于Filippi缺口应力场方程的准确性，可以采用有限元等数值方法进行验证。针对平面对称拉伸问题，采用ANSYS中APDL语言，建立了V型缺口的参数化有限元模型，如图2所示。可分析不同缺口角度和根部半径下的缺口应力状态。

值得注意的是，缺口应力场方程所描述的是缺口区域附近而非整个平面的应力状态，而缺口区域的范围与缺口曲率半径ρ和缺口角度2α相关。应力比σθ/σmax沿着缺口中心线的变化规律，如图3所示。可以看出，在缺口角度90°和135°两种情况下，Filippi缺口应力场方程计算结果和有限元分析结果能够基本一致；而在缺口半径较小时（ρ=1mm），分析结果在缺口较远的位置（rgt;4ρ）出现了一定偏差，表明ρ越小，方程所能够准确描述的缺口范围也越小，反之亦然。

图3 缺口中心线上应力比变化情况
Fig.3 The Stress Ratio Along the Notch Bisector According Filippi and FEM

4 微观约束效应

在实际情况中，缺口尖端局部材料存在着比较明显的各向异性，直接约束和降低了应力峰值，即通过缺口应力场方程或基于各向同性的弹性理论所计算的缺口尖端应力往往偏高[16]。这也是为何采用应力强度因子而非应力描述裂纹状态的原因。因此，在计算缺口应力集中系数时，应当考虑到这种缺口根部的微观约束效应（microstructural support effect），否则将过高的估计其应力集中程度。

对于如何衡量局部微观约束效应的影响，文献[13]提出了一个简单实用的方法，即采用局部范围内的平均应力作为等效应力。如图4所示对于一个张开角度2α，根部半径为ρ的缺口，首先确定一个微观约束尺寸ρ*（microstructural support length）—与材料的断裂韧度和屈服强度有关，等效缺口应力应当与ρ*内的应力平均值相当。为了方便有限元等数值方法分析缺口应力状态，可以在缺口根部构造一个较大的虚拟缺口半径ρf（FNR，fictitious notch radius），如果此时的最大缺口应力等于原缺口ρ*内的平均应力，则该虚拟缺口即与实际缺口等效。这种虚拟缺口半径方法避免了对每个实际缺口进行重复积分求平均值，大大简化了计算过程，因此问题的关键变化为如何确定虚拟缺口半径大小ρf。

图4 缺口应力平均概念及虚拟缺口半径法
Fig.4 Notch Stress Average Concept and FNR Method

计算缺口应力平均值时，积分路径应当与裂纹萌生方向一致[17]。如在对称拉伸的情况下，材料的破坏最可能沿缺口中心线发生，则等效缺口应力为该方向上ρ*内的应力平均值。被积分的应力可以是方向应力，也可以是等效应力。如式（6）所示。以对称拉伸（Ⅰ型）问题为例，由于周向应力σθ占应力场中的主导地位，首先对σθ在ρ*内积分求平均值σθ，如式（7）所示；然后对σθ求极限，获得虚拟缺口半径ρf下的最大应力值σmax，如式（8）所示；从而求解出虚拟缺口半径ρf与实际缺口半径ρ和微观约束尺寸之间的关系，如式（9）所示。受剪切载荷作用的情况可以采用同样方式求出。

缺口区域的微观约束效应可定义一个约束因子s（support factor）进行估量[18]，如式（10）所示。它与缺口的实际半径 ρ，约束尺寸ρ*和缺口角度2α等关联。s越小时，表明缺口根部的约束效应越明显。如图5，取约束尺寸0.01mm的情况下，受Ⅰ型载荷作用，不同缺口角度下的约束因子差异明显，而缺口根部半径ρ只在很小时产生一定影响。从图6的虚拟缺口半径与实际缺口半径的关系可以发现，随着缺口根部曲率半径的增大，缺口角度的影响在逐渐减小。定义约束因子的优点不仅可以直接描述微观约束效应的强弱，还可以根据具体缺口参数直接换算出虚拟缺口半径大小。

图5 约束因子与缺口曲率半径关系
Fig.5 Relationships Between Support Factor and Notch Radius

图6 虚拟缺口半径与实际缺口半径关系
Fig.6 Relationships Between FNR and Notch Radius

5 应力集中系数求解

分析缺口应力场和微观约束效应都是了为了确定V型缺口的应力集中系数。由于Filippi方程无法预测缺口远端的应力场，难以建立缺口应力与名义应力的直接关系，因此有必要借助于有限元分析方法。

首先分别建立相应的缺口拉伸和缺口剪切有限元模型，获得有限元分析结果后：一种方法是对缺口ρ*内的方向应力或等效应力积分求平均值，平均缺口应力集中系数Kt 等于该平均值与边界名义应力的比值，如式（11）所示。这种方法因计算量大而显得过于繁琐；如果采用3中所叙述的等效缺口圆方法，则可直接建立以虚拟缺口半径为参数的有限元模型，等效缺口应力系数K（tρ）f等于最大应力值与名义应力比值，如式（12）所示。但该方法的前提是建立在2和3的研究结果之上。为了比较两种方法的差异，可以定义△为Kt 和K（tρ）f之间的偏差，如式（13）所示。

表2给出了尖锐V型缺口（即ρ=0）在不同角度和不同约束尺寸下的平均应力集中系数和等效应力集中系数。通过比较可以发现，在缺口张角为0°时，V型缺口在拉伸载荷和剪切载荷作用下的应力集中程度基本相当，而在其它缺口角下，拉伸应力集中略大于剪切应力集中。微观约束效应对应力集中的影响相当可观，如在拉伸载荷作用下，约束尺寸从0.05mm增大到0.5mm时，等效应力集中系数Kt（ρf）减小了3倍（2α=0）。这意味着如果不考虑缺口根部约束效应，缺口应力将被极大的高估，缺口件的疲劳强度设计则会显得过于保守。两种方法的偏差△较小，大都保持在10%以内，说明所求解的缺口应力集中系数具体较强的可靠性。

表2 V型缺口在拉伸和剪切载荷作用下的应力集中系数（ρ=0）
Tab.2 The Stress Concentration Factor of Pointed V-Notch with Tensile Load and Shear Load（ρ=0）

2αs（Ⅰ型）Δ%0°2.00 0.10 24.54 ρ*=0.05mm ρ*=0.1mm ρ*=0.5mm ρfKt（ρf）Kt Δ%ρfKt（ρf）Kt Δ%ρfKt（ρf）Kt 029.36 1.00 8.19 7.1714.23 90°2.71 0.14 19.08 22.63 8.4 4 0.2 0 17.52 16.19.48-2.050.27 14.00 14.20-1.412.71 6.82 6.81 0.15 135°4.21 0.21 9.93 9.94-0.100.42 7.93 7.920.13 4.21 4.70 4.68 0.43 2α s（Ⅱ型）310.55 1.24 8.02 7.2910.01 90°4.00 0.20 14.69 Δ%0°2.470.1 24 ρ*=0.05mm ρ*=0.1mm ρ*=0.5mm ρfKt（ρf）Kt Δ%ρfKt（ρf）Kt Δ%ρfKt（ρf）Kt 23.13 23.070.26 0.25 16.40 16.14.630.38 0.40 11.19 11.071.04 2.00 6.27 5.80 8.12 135°10.900.55 7.42 7.45-0.401.09 6.26 6.181.29 5.45 4.34 4.01 8.23

6 缺口应力集中的应用

焊接接头作为一种典型的V型缺口件，分析其应力状态和疲劳强度通常采用的方法有名义应力法，结构应力法和缺口应力法[1，14]。前两类方法目前已比较成熟，而由于缺口应力求解困难和缺口参数缺乏等原因导致缺口应力法应用较少；但缺口应力是裂纹萌生和扩展的决定性因素，因此将缺口应力作为设计参量更接近于实际情况[19]。分析了V型缺口在不同载荷形式下的应力集中系数，这为求解焊接接头的缺口应力提供了一种简单可行的方法。

焊接接头局部简化模型，如图7所示。可视为张角135°的尖锐V型缺口。由于缺口尖端存在奇异性和微观约束效应，直接采用有限元方法分析其缺口应力是不准确的，缺口尖端应力会随着网格尺寸的减小而趋于无穷大。焊接接头边界在受10MPa拉伸载荷作用时，如图8所示。采用3种不同尺寸的单元，其缺口应力值差异很大；而距缺口较远的名义应力值则不受单元尺寸的影响。由于应力集中系数基于严格的数学推导和合理的数值分析，因此，通过名义应力乘以缺口应力集中系数获得缺口应力更为方便和准确，如果焊接接头材料的微观约束尺寸ρ*取0.1mm时，该缺口应力应为7.92*10MPa，若ρ*取0.5mm时，缺口应力应为4.68*10MPa（参照表2数据）。而在缺口应力集中系数缺少时，可根据具体缺口参数，采用虚拟缺口圆方法构造相应的等效模型，同样可以获取合理的缺口应力值。

图7 焊接接头缺口区域有限元模型
Fig.7 The FE Model of Weld Joint Notch

图8 焊接接头表面拉伸应力变化情况
Fig.8 Change Situation of Tensile Stress Along Weld Surface

7 结论

在考虑V型缺口微观约束效应的基础上，分析其应力集中因子，获得如下结论：

（1）建立了参数化的V型缺口拉伸有限元模型，分析了90°和135°两种角度缺口的应力状态，数值分析和理论计算值能够较好的吻合，Filippi所提出的缺口应力场方程的可靠性得到了验证。

（2）为了考虑缺口区域微观约束效应的影响，这里引入了Neuber应力平均假设和虚拟缺口半径方法。通过分析计算，获得了缺口约束因子s，虚拟缺口半径ρf与实际缺口半径ρ之间的关系。

（3）采用有限元方法计算了不同角度下的尖锐V型缺口在拉伸和剪切两种情况下的平均应力集中系数Kt 和等效应力集中系数K（tρ）f。结果表明，微观约束效应对缺口应力集中具有重要影响；两种应力集中系数Kt 和K（tρ）f之间偏差基本保持在10%以内，说明所求解的缺口应力集中系数可信度较高。

（4）以焊接接头的缺口应力分析为实例，采用缺口应力集中系数能够较好的避免有限元分析中因单元尺寸而造成的结果差异。

参考文献

［1］张彦华.焊接结构疲劳强度分析［M］.北京：化学工业出版社，2013.（Zhang Yan-hua.Fatigue Analysis of Weld Structure［M］.Beijing：Chemical Industry Publishers，2013.）

［2］Irwin G.R.Analysis of stresses and strain near the end of a crack transversing a plate［J］.Journal of Applied Mechanics，1957（24）：361-364.

［3］Williams M.L.Stress singularities resulting from various boundary conditions in angular corners of plates in tension［J］.Journal of Applied Mechanics，1952（19）：526-528.

［4］Creager M，Paris P，C.Elastic field equations for blunt cracks with reference to stress corrosion cracking.International Journal of Fracture Mechanics［J］.1967（3）：247-252.

［5］Lazzarin P，Tovo R.A unified approach to the evaluation of linear elastic stress fields in the neighborhood cracks and notches［J］.International Journal of Fracture，1996（78）：3-19.

［6］郦正能.应用断裂力学［M］.北京：北京航空航天大学出版社，2011.（Li Zheng-neng.The Application of Fracture Mechanics［M］.Beijing：Beijing University of Aeronauticsamp;Astronautics Publishers，2011.）

［7］Filippi S，Lazzarin P.Developments of some explicit formulas useful to describe elastic stress fields ahead of notches in plates［J］.International Journal of Solids and Structures，2002（39）：4543-4565.

［8］Glinka G，Newport A.Universal features of elastic notch-tip stress fields［J］.International Journal of Fatigue，1987（9）：143-150.

［9］Xu R.X，Thompson J，C.Practical stress expressions for stress concentration regions［J］.Fatigue and Fracture of Engineering Materials and Structures，1995（18）：885-895.

［10］Kujawski D，Shin C.S.On the elastic longitudinal stress estimation in the neighborhood of notches［J］.Engineering Fracture Mechanics，1997（56）：137-138.

［11］陈毕云，夏颂佑.V型缺口应力及应力强度因子的计算［J］.河海大学学报，1992，20（2）：115-119.（Chen Bi-yun，Xia Song-you.The calculation of V-notch stress and stress intensity factor［J］.Journal of Hehai University，1992，20（2）：115-119.）

［12］孟波，佘崇民.V型缺口根部裂纹应力强度因子的有限元分析［J］.南京航天航空大学学报，2009，41（1）：126-129.（Meng Bo，She Chong-min.Finite element analyses of stress intensity factors of cracks at V-notches［J］.Journal of Nanjing University of Aeronauticsamp;Astronautics，2009，41（1）：126-129.）

［13］Radaj D，Lazzarin P，Berto F.Generalized neuber concept of fictitious notch rounding［J］.International Journal of Fatigue，2013（51）：105-115.

［14］Neuber H.Theory of Notch Stresses［M］.Berlin：Springer-Verlag，2001：298-310.

［15］Williams M.L.The eigenvector solution for a general corner or finite opening crack with further studies on the collocation procedure［J］.International Journal of Fracture，1985（27）：63-74.

［16］Radaj D，Vormwald M.Advanced Methods of Fatigue Assessment［M］.Berlin：Springer，2013：12-15.

［17］Lazzarin P，Filippi S.A generalized stress intensity factor to be applied to rounded V-shaped notches［J］.International Journal of Solids and Structures，2006（43）：2461-2478.

［18］Berto F，Lazzarin P，Radaj D.Fictitious notch rounding concept applied to sharp V-notches Evaluation of the microstructural support factor for different failure hypotheses Part II Microstructural support analysis［J］.Engineering Fracture Mechanics，2009（76）：1151-1175.

［19］Sonsino C.M.Notch stress concepts for the fatigue assessment of welded joints-Background and applications［J］.International Journal of Fatigue，2012（34）：2-16.

The Analysis and Application of V-Notch Stress Concentration Factor

LIU Bin1，LI Tao2，ZHANG Kai-lin1，LIU Xu1
（1.Traction Power State Key Laboratory，Southwest Jiaotong University，Sichuan Chengdu 610031，China；2.Guangzhou Electric Locomotive Co.，Ltd.Guangdong Guangzhou 510850，China）

Abstract：In order to analyze the stress concentration factor of V-notch，this paper introduced Filippi notch stress field equation.The notch stress field parameters were calculated under symmetric tensile load （ModelⅠ）and skew-symmetric shear load（ModelⅡ）.The parameterized FE model of a V-notch under tensile load was established，and the accuracy of the Filippi equation is verified by comparing the results of numerical calculation and theoretical analysis.Considering the microstructural support effect of the notch root，the relationships between support factors，fictitious notch radius and notch parameters were （adopted）obtained by introducing Neuber stress average concept and FNR.Based on the research above，the finite element method was used to analyze the average stress concentration factors and equivalent stress concentration factors of pointed V-notch with different support length and notch opening angle.The result show that the notch stress concentration factor solved have high credibility，as the deviation of the two notch SCF remained below 10%.At last，to avoid differences of the notch stress caused by different element size，the notch SCF was applied to determine the notch stress of welded joint.

Key Words：V-Notch；Notch SCF；Filippi Equation；Microstructural Support Effect；FEM

中图分类号：TH16

文献标识码：A

文章编号：1001-3997（2017）11-0100-05

来稿日期：2017-05-20

基金项目：牵引动力国家重点实验室资助研究课题资助项目（2015TPL_T10）

作者简介：刘 斌，（1990-），男，四川人，硕士研究生，主要研究方向：机车车辆结构疲劳强度研究；张开林，（1967-），男，江苏人，博士研究生，研究员，主要研究方向：机车车辆结构疲劳强度研究