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对于一次函数的学习，只要抓住要点，家长鼓励协同，熟练图形结合思维，效果自然显现。 一次函数是函数中的一种，一般形如y=kx+b（k,b是常数，k≠0），其中x是 自变量 ，y是因变量。特别地，当b=0时，y=kx（k为常数，k≠0），y叫做x的正比例函数 （direct proportion function）。一次函数及其图象是 初中代数 的重要内容，也是高中解析几何的基石，更是中考的重点考查内容。函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有惟一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。 表示方法
解析式法: 一次函数的解析式为：
斜率 ，不能为0；x表示自变量，b表示y轴截距。且m和b均为常数 。先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的斜率，从而得出解析式。该解析式类似于直线方程中的斜截式。基本性质: 函数性质 1. y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k 即：y=kx+b（k≠0) （k不等于0，且k，b为常数）。 2. 当x=0时，b为函数在y轴上的交点，坐标为(0,b)。 当y=0时，该函数图象在x轴上的交点坐标为（-b/k，0）。 3. k为一次函数y=kx+b的斜率，k=tanθ(角θ为一次函数图象与x轴正方向夹角，θ≠90°)。 4. 当b=0时(即 y=kx)，一次函数图象变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。 5. 函数图象性质：当k相同，且b不相等，图像平行； 当k不同，且b相等，图象相交于Y轴； 当k互为负倒数时，两直线垂直。 6. 平移时：上加下减在末尾，左加右减在中间。 1. 作法与图形：通过如下3个步骤： （1）列表：每确定自变量x的一个值，求出因变量y的一个值，并列表； （2）描点：一般取两个点，根据“两点确定一条直线”的道理，即在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点。 一般地，y=kx+b（k≠0）的图象过(0, b)和(-b/k, 0)两点即可画出。 正比例函数y=kx（k≠0）的图象是过坐标原点的一条直线，一般取(0, 0)和(1, k)两点画出。 （3）连线：可以作出一次函数的图象——一条直线。因此，作一次函数的图象只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图象与x轴和y轴的交点分别是与（ a ，0），（0，b）） 2. 性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b(k≠0)。（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（ a，0）正比例函数的图象都是过原点。 3. 函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。 4. k，b与函数图象所在象限： y=kx时（即b等于0，y与x成正比，此时的图象是一条经过原点的直线) 当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大； 当k<> y=kx+b（k,b为常数，k≠0）时： 当 k>0,b>0, 这时此函数的图象经过一，二，三象限； 当 k>0,b<0,> 当 k<0,b>0, 这时此函数的图象经过一，二，四象限； 当 k<><0,> 当b>0时，直线必通过一、二象限； 当b<> 特别地，当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图象。 这时，当k>0时，直线只通过一、三象限，不会通过二、四象限。当k<> 5. 特殊位置关系 当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中K值（即一次项系数）相等。 当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K值互为负倒数。 6. 直线y=kx+b的图象和性质与k、b的关系如下表所示： k>0,b>0：经过第一、二、三象限 k>0,b<> k>0,b=0：经过第一、三象限（经过原点） 结论：k>0时，图象从左到右上升，y随x的增大而增大。 k<0,b>0：经过第一、二、四象限 k<><> k<> 结论：k<> 7. 将函数向上平移n格，函数解析式为y=kx+b+n，将函数向下平移n格，函数解析式为y=kx+b-n，将函数向左平移n格，函数解析式为y=k(x+n)+b，将函数向右平移n格，函数解析式为y=k(x-n)+b。 位置关系: 当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中k的值（即一次项系数）相等； 关于平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K值互为相反数的证明： 如图，这2个函数互相垂直，但若直接证明，存在困难，不易理解，如果平移平面直角坐标系，使这2个函数的交点交于原点，就会更简单。就像这一样，可以设这2个函数的表达式分别为； y=ax, y=bx。 在x正半轴上取一点（z,0)（便于计算），做与y轴平行的直线，如图，可知OC=z，AC=a*z，BC=b*z，由勾股定理可得： OA=√z^2+(a*z)^2 OB=√z^2+(b^z)^2 又有OA^2+OB^2=AB^2，得 z^2+(az)^2+z^2+(bz)^2=(az-bz)^2 (因为b小于0，故为az-bz） 化简得： z^2+a^2*z^2+z^2+b^2*z^2=a^2*z^2-2ab*z^2+b^2*z^2 2z^2=-2ab*z^2 ab=-1 即k=-1 所以两个K值的乘积为-1。 注意：与y轴平行的直线没有函数解析式，与x轴平行的直线的解析式为常函数，故上述性质中这两种直线除外。 |
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