在整数除法中余数可以为“0”吗

不少小学教师对于“在整数除法中，余数可不可以为0”这个问题模棱两可，对于这个问题早有定论。余数当然可以为0，可是他们并不同意。于是我回去翻了一下书，确实从一年级上册到六年级下册，里面均无“余数可以为0”的表述。课本中没有，看来只有通过合理思辨和相关考评来达到为小学同仁解惑之目的了。

一、要用对立统一的观点看待0

众所周知，当盘子中连一个苹果都没有时，我们就说这个盘子中苹果的个数为0。从这个意义上讲，0是空集，0表示“没有”。然而，0是一个确定的数，它是自然数的起始数，它既不是正数，也不是负数，它是唯一的中性数。从这个意义上讲，0又表示“有”，这一点也不难理解。比方说，小明在黑板上写了一个“0”，你总不能说他什么都没写吧！再比方说，某地某时的气温为0摄氏度，你总不能说该地该时没有温度吧！所以我们应该用对立统一的辩证观点看待0，懂得0既可以表示“无”，又可以表示“有”。用这一观点考察整数除法，我们不难发现，当15÷5时，得到整数商为3，既可以说“没有余数”，也可以说“余数为0”，这两种说法是完全等价的，因而都是正确的。

二、要用发展变化的观点看待概念间的关系

人们对数学概念的认识并非一成不变的，而是处于不断发展变化之中的。例如，“整数”与“分数”最初是两个并列的概念，它们相互排斥，泾渭分明，不容混淆。然而，出于数学自身发展的需要，后来，人们又把整数看作分母为1，分子为整数的假分数，如5=，6=。这样一来，“分数”的外延就扩大了，整数与“分数”的关系也由并列关系转变成包含关系。“整数”与“分数”的特例，整数集成了分数集的真子集。原先，整数集与分数集之并集才是有理数集，后来，这种广义的分数集实际上就是有理数集了。

与此类似，人们研究整数除法时，先研究被除数能被除数整除的情形，如15÷5，正好得到整数商3，记作15÷5=3。后来才研究有余数的情形，如16÷5，得到不完全商3后还余1，记作16÷5=3……1。起初，“整除”与“有余数的除法”也是并列而互斥的概念，前者没有余数，后者有余数，互不相容。后来，为了研究的方便，人们干脆把“有余数的除法”的外延扩大，让它把原先的两个概念一并囊括。因为这很容易办到，只要把“整除”时的“没有余数”看做“余数为0”即可。这样一来，“整除”与“有余数的除法”也就顺理成章地由对立变成统一，二者统一于广义的“有余数的除法”之中。

现在，我用六年级中“抽屉原理”来解答这一类有关整除性的题目。求证：在任意六个整数中，必有这样的两个数，它们的差能被5整除。

证明：因为任何整数除以5，所得余数只可能是0、1、2、3、4五种，也就是说，所有整数按其除以5所得余数来分，可分为余数分别为0、1、2、3、4五个剩余类。把每个剩余类都看作一个抽屉，五个剩余类就是五个抽屉。根据“抽屉原理”，把六个整数放进五个抽屉，至少有一个抽屉里会有两个整数。这两个整数既属同一个剩余类，它们除以5所得的余数必然相同，故其差除以5所得的余数必为0，也就是说，这个差必能被5整除。

综上所述，在整数除法中，余数的确是可以为0的。但在现行的人教版小学数学教材中，对此完全不予涉及，遂令在教学中起主导作用的教师迷茫不解，实在没有道理。由此观之，教材必须修改。