如何理解t检验、t分布、t值？

t检验、t分布、t值其实都是同一个数学概念中的不同部分。

1 t检验的历史

阿瑟·健力士公司（Arthur Guinness Son Co.）是一家由阿瑟·健力士（Arthur Guinness）于1759年在爱尔兰都柏林建立的一家酿酒公司：

不过它最出名的却不是啤酒，而是《吉尼斯世界纪录大全》：

1951年11月10日，健力士酒厂的董事休·比佛爵士（Sir Hugh Beaver）在爱尔兰韦克斯福德郡打猎时，因为没打中金鸻，于是和同行们争论哪种鸟飞得最快，彼此争论不休。由于当时的参考资料并不足以回答这个问题，这促使比弗想出版一本记载世界之最的书，这就是后来的《吉尼斯世界纪录大全》。

还有一个让健力士公司在历史留名的，就是他的员工威廉·希利·戈斯特（1876－1937）：

在健力士公司，戈斯特提出了t检验以降低啤酒质量监控的成本，但健力士酒厂为了保护公司的商业机密和智慧财产，明文禁止员工发表文章。

戈斯特并没有因为这项规定而放弃他的学术研究发表，他在《生物统计期刊》以“学生”（The Student）为笔名，发表了关于t检验的文章，所以t检验又称为“学生t检验”。

直到1937年，戈斯特因心脏病去世之前，健力士酒厂一直不知道戈斯特从事统计研究工作，并以“学生”笔名发表研究成果。许多统计研究者要和戈斯特见面，都必须像间谍电影般地秘密安排见面地点和时间。

现在位于都柏林的健力士专卖店中有一个戈斯特的纪念碑，上面写著“化学家、统计学家威廉·希利·戈斯特，首席酿酒师，学生t检验”：

2 t检验的思路

啤酒，主要原料是大麦，啤酒厂肯定是希望尽力提高亩产。

比如，健力士公司有下面两块麦田：

左边的麦田采用传统A工艺进行种植，平均每株大麦可以结100粒穗子。

而右边的麦田采用改进过的B工艺种植，健力士公司想知道“B工艺是否提高了产量”。

为了节约成本、减小损耗，抠门的健力士公司从B工艺的麦田中采样了5株大麦，样本均值为120粒穗子。然后把难题抛给了戈斯特。

似乎直观看来产量提高了，毕竟均值增加了  ，可是戈斯特想得更多一些。

2.1 戈斯特的分析

戈斯特提出一个假设检验（关于假设检验可以参看这篇文章）：

• 假设：B工艺没有提高产量，即AB下的麦穗都是同一个分布

• 检验：看看在此假设下，  发生的概率高不高

已知的数据是，A工艺下的单株麦穗的个数服从  ，标准差  未知的正态分布：

而B工艺下的麦田的样本均值  ，采样了5株。

不同的标准差对应的正态分布图像不同：

图像的跨度由标准差  决定：

 如果服从以下正态分布：

 ，跨度不大，采样五个点使其  的图像如下：

可见，  的概率非常低，即AB下的麦穗是同一个分布的可能性不大，我们有很大把握可以认为B工艺真正提高了产量。

而如果  服从的是跨度更大的正态分布，采样五个点使其  的图像如下（为了演示，正态分布的参数选的不是很严谨）：

这样的正态分布下，  的概率并不低，即AB下的麦穗还是可能为同一个分布的，我们没十足的把握认为B工艺提高了产量。

因此，看起来不能单纯依靠  ，或许除以样本标准差  可以消除跨度的影响：

因为A工艺的  我们不清楚，但是我们假设AB同分布，所以直接使用了样本标准差 。

当然，样本数  也会影响结果。比如说，在  下，得到  ，那么根据大数定理，我们不用算了，基本上可以认为“B工艺提高了产量”。

所以，戈斯特认为应该综合考虑样本均值  、样本方差  和样本数  ，给出了一个统计量t值：

该统计量越大说明AB工艺导致的差别越大，越有可能说明“B工艺提高了产量”。

3 t分布

对于t值：

对应的概率密度函数，也就是t分布为：

其中  ，也叫做自由度。而  为伽马函数。

 接近于正态分布  （灰色的虚线就是  ），下面是  的t分布：

而t值，实际上对应的就是横坐标的值，比如说t值等于4：

t=4之后的曲线下面积其实就是P值（关于P值可以参看这篇文章）：

所以，我们知道t值之后，就可以根据  以及要求的P值，查出当前的t值是否会拒绝我们的假设。

举个例子，比如本文中的AB工艺下的数据为：

计算出来：

服从  的t分布：

如果我们要求  的显著水平的话，那么就可以拒绝“B工艺没有提高产量”这个假设了。