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教师专业化发展的三大基石 理解数学，理解学生，理解教学。 “三个理解”的内涵：掌握丰富的数学学科知识；中小学数学课程结构体系、教学重点的知识；学生数学学习难点的知识；关于重点知识的教学解释的知识；关于评估学生的知识理解水平的知识；等。特别是，“内容所反映的数学思想方法”的理解水平决定了教学所能达到的水平和效果。 一、关于数学的整体性 整体是事物的一种真实存在形式。数学是一个整体。 数学的整体性体现在代数、几何、三角等各部分内容之间的相互联系上，同时也体现在同一部分内容中知识的前后逻辑关系上——纵向联系、横向联系。 学生的学习是循序渐进、逐步深入的，概念要逐个学，知识要逐步教。如何处理好这种矛盾，是教学中的核心问题。 1. 从数及其运算看数学的整体性 在数系的发展过程中，正整数与人的直觉一致，天经地义。然而，0、负整数、分数、无理数、复数取得“合法”地位，都经历了漫长、曲折而相似的过程。让学生返璞归真地择要经历这个过程，对他们理解数学的整体性、感受数学研究的“味道”很有好处，自然地，这也是培养学生的数学素养，提高他们发现和提出问题、分析和解决问题的能力的极好途径。 数系扩充的基本思想 数学推广过程的一个重要特性是：使得在原来范围内成立的规律在更大的范围内仍然成立。 数系的扩充：引入一种新的数（如何引）；定义运算（如何定义）；研究运算律（什么叫运算律）。 扩充的基本原则是：使算术运算的运算律保持不变。 “有理数”的结构 背景引入——现实的背景、数学内在的逻辑必然性； 定义——外延列举式； 表示——符号、图形； 分类——分类标准的确定； 性质——相反数、绝对值、大小关系等； 运算和运算律——如何定义运算法则？运算法则需要证明吗？运算律与运算法则的关系？运算律如何证明？为什么（－1）×（－1）≠－1？ 为什么说在有理数乘法法则的教材设计中，渗透了数系扩充的基本思想—算术运算的运算律保持不变？ 研究一个数学对象的基本套路 背景（现实需要、数学发展的需要）——定义、表示、分类——性质——运算——联系和应用。 2.从字母表示数发展出的代数学 代数学的根源在于代数运算，代数学要研讨的就是如何有效、有系统地解决各种各样的代数问题。 用字母表示数，就要研究各种代数式的运算问题——如何进行代数式的加、减、乘、除、乘方、开方，运算的依据是什么，就要研究代数式的相等和不等，就要研究运算性质等。 3. 课例“同底数幂的乘法” 立意：构建一个前后一致、逻辑连贯的代数学习过程，使学生在掌握知识的过程中学会思考，把学生培养成为善于认识问题、善于解决问题的人才。 关注的重点：数学的整体性，代数基本思想，运算技能，发现和提出问题的能力。 （1）为什么要学习本章内容？ 运算——代数学的根源在于代数运算，代数学这门学问所要研讨的就是如何有效、有系统地解决各种各样的代数问题。 整式本身就是运算的结果；整式中的数和字母都满足运算律； 整式的运算就是对数、字母符号运用运算律所进行的形式运算； 前面已经学习整式的加减（利用分配律去括号，再合并同类项）。 接下来自然要学习整式的乘法、除法等。 两个多项式相乘——（用分配律）转化为单项式的乘积之和式——用乘法的交换律、结合律和幂的运算性质（指数法则）得到单项式的乘积。所以，多项式乘法的基础是单项式的乘法，而单项式的乘法又以幂的运算性质为基础。 通过归纳可以发现，幂的运算最基本的形式是三类：am·an，(am)n，(ab)n。 “整式的乘法”的逻辑线索 同底数幂的乘法——幂的乘方——积的乘方——单项式的乘法——单项式乘多项式——多项式乘多项式——乘法公式（特殊的多项式乘法） （2）如何开篇？ 重点：构建“先行组织者”，使学生明确本章的学习主线。 思路一 从整体出发，逐渐分化——从整式运算的整体出发，引导学生从宏观到微观，逐步寻找整式的乘法所需要的逻辑基础，将研究的问题具体化，进而构建整体研究思路，然后再按照知识的逻辑顺序逐步展开学习。 思路二从一个“实际问题”出发，直接提出同底数幂的乘法的学习任务，再采用从具体到抽象的方法，从具体数字的运算中归纳出同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方等运算法则。 显然，前一种立意高，思想性强，“数学味”更浓，课题的引入更加自然而水到渠成，能使学生切实地感受到学习同底数幂的乘法的必要性，同时还能更好地落实“发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力的培养”。这样的安排，更加符合数学法则产生的原来面目，完美地体现了数学的整体观，课堂更加大气，能给学生更多智慧的启迪，思维的教学更加到位。 学生已经学过整式的概念、加减运算，从“数式通性”的角度说，学习同底数幂的乘法的基础（即数的乘方）很牢固，因此，用前一种方式引入，不仅更能体现数学的整体性，更有利于创新精神和实践能力的培养，数学的思维训练价值更能得到充分发挥，而且也与学生的认知准备相适应，更能体现学习的自主性，也更能激发学生的学习主动性。 （3）落实“有效、有系统地算” 一是同底数幂的乘法法则，解决算理的问题，实现“有系统地算”；二是如何用法则进行有效计算，实际上是进行运算技能的训练，提高运算能力，实现“有效地算”。 训练运算技能是代数教学的基本任务，本节课的“训练点”在两个方面。一是“用同底数幂的乘法法则进行计算”，关键是解决“把不同底转化为同底”，这是知识与方法的角度；二是运算习惯的培养，与“数感”、“符号意识”等相关，具体可以从“先观察，后计算”、“先定符号，再算绝对值”等方面着手。 （4）关注代数的基本思想 从运算的角度提出问题——代数学的根源在于运算； 运算律（特别是分配律）是解决各种各样代数问题的核心； 归纳地去探究、发现，归纳地定义，然后再归纳地论证。 小结 本课内容简单，没有难点。但从注重数学的整体性，强调代数基本思想，加强运算技能以及发现和提出问题的能力等角度看，又有许多值得注意的问题，需要在课题的引入、同底数幂的乘法法则的得出、法则的应用等环节加强思考，努力为学生构建一个前后一致逻辑连贯的代数学习过程，使他们在掌握知识的过程中学会思考，把他们培养成为善于认识问题、善于解决问题的人才。这是“数学育人”的康庄大道。 二、关于系统思维的培养 数学是一个系统，理解和掌握数学知识需要系统思维。系统思维就是把认识对象作为系统，从系统和要素、要素和要素、系统和环境的相互联系及相互作用中综合地考察认识对象的一种思维方法。系统思维能极大地简化人们对事物的认知。系统思维给我们带来整体观、全局观，具备系统思维是逻辑抽象能力强的集中表现。 例 研究“三角形” 的系统思维 定义“三角形”，明确它的构成要素；用符号表示三角形及其构成要素；以要素为标准对三角形进行分类；——明确研究对象 基本性质，即研究要素之间的关系，得到“三角形内角和等于180°”等； 研究“相关要素及其关系”，如“三角形的外角等于不相邻两内角之和”等； 三角形的全等（反映空间的对称性，“相等”是重要的数学关系，也可以看成“确定一个三角形的条件”）； 特殊三角形的性质与判定（等腰三角形、直角三角形）； 三角形的变换（如相似三角形等）； 直角三角形的边角关系（锐角三角函数），解直角三角形； 解三角形（正弦定理、余弦定理）。 把三角形作为一个系统进行研究 明确研究对象（定义、表示、划分） ——性质（要素、相关要素的相互关系）——特例（性质和判定）——联系； 定性研究（相等、不等、对称性等）——定量研究（面积、勾股定理、相似、解三角形等）。 培养系统思维，是为了使学生养成全面思考问题的习惯，避免“见木不见林”，进而使他们在面对数学问题时，能把解决问题的目标、实现目标的过程、解决过程的优化以及对问题的拓展、深化等作为一个整体进行研究。这样，“使学生学会思考，成为善于认识和解决问题的人才”就能落在实处。 什么叫性质？性质是指事物所具有的本质，即事物内部稳定的联系。 问题：这里的“事物内部”指什么？“稳定的联系”是怎么表现的？到底怎样才能发现这种“联系”？ 从三角形的“内角和为180°”、“两边之和大于第三边”、“大边对大角”、“等边对等角”等你想到了什么？ “内部”可以是“三角形的组成要素”，“稳定的联系”是指“三角形要素之间确定的关系”。 几何对象组成要素之间确定的关系就是性质。 从“外角等于不相邻两内角的和”、“三条高交于一点”、“等腰三角形三线合一”等又想到了什么？ 把外角、高、中线、角平分线等叫做三角形的相关要素，这些“相关要素”也可以看成是“三角形的内部”。 要素、相关要素之间确定的关系也是性质。 两个几何事物所形成的某种位置关系所体现的性质，例如两条直线平行，从“同位角相等”、“内错角相等”以及“同旁内角互补”可以想到，这时的“性质”是借助“第三条直线”构成一些角，然后看由两条直线平行这一位置关系所决定的这些角之间有什么确定的关系。 研究两个几何事物的某种位置关系下具有什么性质，可以从探索这种位置关系下的两个几何事物与其他几何事物之间是否形成确定的关系入手。 圆的几何性质 要素、相关要素：圆心、半径、直径、弧、弦、圆心角、圆周角…… 你认为可以怎样引导学生发现和提出值得研究的命题？ 同（等）圆的直径大于不经过圆心的任何一条弦； 垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧； 在同（等）圆中：弧相等则所对的弦相等，且弦心距也相等；两条劣弧不等，则大弧所对的弦较大（弦心距较小）；逆定理也成立。 切线垂直于过切点的半径。 过圆外一点所作圆的两条切线长相等。 你能发现一些与圆心角相关的定理吗？ 总结： 数学是思维的科学，数学教学是思维的教学。 要让学生学会发现，就必须使他们拥有发现的眼光； 要让学生学会探究，就必须使他们拥有探究的方法； 要让学生学会创造，就必须使他们拥有创造的智慧。 |
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来自： 王跃树数学 > 《听课评课、教学设计》
