B1 初等代数

【学习百眼通】何岳山 编辑整理
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        当算术里积累了大量的，关于各种数量问题的解法后，为了寻求有系统的、更普遍的方法，以解决各种数量关系的问题，就产生了以解方程的原理为中心问题的初等代数。

     一、数的概念的扩充

    在初等代数的产生和发展的过程中，通过解方程的研究，也促进了数的概念的进一步发展。先是将算术中讨论的整数和分数的概念扩充到有理数的范围，但有些方程在有理数范围内仍然没有解，于是数的概念在一次扩充到了实数；同样，有些方程在实数范围内仍然没有解，进而又进一步扩充到了复数。所以，初等代数的第一个重要内容就是数的概念的扩充。

     二、代数式
    像我们每天生活在数的世界中一样，我们每天也同样生活在量的世界中，数和量似乎没法分开。事实上，量与数的确是有区别的。

    在我们身边，存在着各种各样的量：你正拿着的这本书有长度、有宽度还有厚度，它与你看的其他一些书籍比较，封面也许正好一样大，也许比某几本杂志要小些。孩子跑过来了，要帮你把许多暂时不看的书抱到书橱里，你关照孩子一次少抱几本，因为你担心孩子的小胳膊承受不了书的份量。孩子抱了一趟很快折回来，你提醒孩子别跑，慢慢走……从以上描述中，你可以体会到客观世界中的各种事物都具有量的特征。有人对“量”做了这样的规定：“量是事物存在的规模和发展的程度。量可以分为不连续量（离散量）和连续量（相关量）两种。”像书籍的本数、孩子的人数都是不连续量，而长度、体积、时间、速度等都是连续量。量是可以通过测量等手段来加以认识的，事物具有的量的特征称量度，量度通常是用量数和单位量来表示的。

    虽然自然数可以表示事物的多少或事物的次序。但对整个数而言，数更像是某一确定的、或某一时刻的具体的量，如同视频中的“帧（一个画面）”。我们通过下面的例子来进一步体会；

    【例1】去超市购买玻璃茶杯时，我们要了解这个事件的三个量：茶杯单价（一个茶杯的价格），购买茶杯的数量，应付的货款。它们之间的关系是：应付货款=购买的茶杯数量×茶杯单价

    （1）每个茶杯的价格是2元，妈妈买了4个茶杯，应付的货款是多少？

         解：2×4=8（元）

    （2）每个茶杯的价格是2元，妈妈去买些茶杯，怎样计算应付货款？

    析：这里，“购买的茶杯数量”不再是一个具体的“数”，而是一个“量”；“应付货款”同样不再是一个具体的“数”，而是一个“量”，可以用“购买的茶杯数量”的一个代数式（计算式）表示出来。“用a表示购买的茶杯数量”，或者“把购买的茶杯数量记做a”，那么应付货款可以用（代数式）2a来表示。

    如果妈妈买了5个茶杯，对应的数学问题变成了这样：
    当a=5时，求代数式2a的值。

    解：当x=2时，2a=2×5=10

    答：当妈妈买了5个茶杯时，应付货款10元。

    初等代数的第一个重要内容就是代数式——整式、分式、根式。

    三、初等代数的第一个重要内容就是三类方程——整式方程、分式方程、无理方程（统称代数方程），以及由有限多个代数方程联立而成的代数方程组。

    值得注意的是：根据方程的定义，只要是含有未知数的等式，就是方程。这里之所以要强调”代数方程“，是因为除了代数方程之外，还有超越方程（即非代数的初等方程，包括指数方程、对数方程、三角方程、反三角方程等）、微分方程、差分方程、积分方程等许多其他形式的方程。后面几类显然不属于代数的范畴。一些有关数学史的内容经常将代数定义为“以解方程为核心的学科”，主要是因为历史上关于代数方程的知识在微积分等近代数学分支建立以前就早有研究了。既然当时都没有微积分，数学家们又怎能想起建立微分方程的概念呢？

    初等代数是算术的继续和推广，初等代数研究的对象是代数式的运算和代数方程的求解。代数运算的特点是只进行有限次的加、减、乘、除和开方。全部初等代数总起来有十条规则。这是学习初等代数需要理解并掌握的要点。

    五条基本运算律：加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、分配律；

    两条等式基本性质：等式两边同时加（减）上一个数，等式不变；等式两边同时乘（除）以一个非零的数，等式不变；

    三条指数律：同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；积的乘方等于乘方的积。

    此外，我们需要记住：
    1.a-b=0，当且仅当a=b；

    2.a+b=0，当且仅当a=-b，或者b=-a；

    3.a·b=0，当且仅当a=0，或b=0；

    4.(a-b)^2=0，当且仅当a=b。

    初等代数学进一步地向两个方面发展，一方面是研究未知数更多的一次方程组；另一方面是研究未知数次数更高的（一元）高次方程。这时候，代数学已由初等代数向着高等代数的方向发展了，相应地也形成了”线性代数“与”（一元）多项式代数“两大板块。

学习课程

 

【小学数学】       

【初中数学】

　　第3章 一元一次方程（B1cz03）
　　　　3.1 从算式到方程（B1cz0301）
　　　　　　3.1.1 一元一次方程
            3.1.2 等式的性质
　　　　3.2 解一元一次方程（一）——合并同类项与移项（B1cz0302）　　
　　　　3.3 解一元一次方程（二）——去括号与去分母（B1cz0303）
　　　　3.4 实际问题与一元一次方程（B1cz0304）
　　第8章 二元一次方程组（B1cz08）
　　　　8.1 二元一次方程组（B1cz0801）
　　　　8.2 消元——解二元一次方程组（B1cz0802）
　　　　8.3 实际问题与二元一次方程组（B1cz0803）
　　　　8.4 三元一次方程组解法（B1cz0804）
　　第14章 整式的乘法与因式分解（B1cz14）
　　　　14.1整式的乘法（B1cz1401）
　　　　　　14.1.1 同底数幂的乘法
　　　　　　14.1.2 幂的乘方
　　　　　　14.1.3 积的乘方
　　　　　　14.1.4 整式的乘法
　　　　14.2 乘法公式（B1cz1402）
　　　　　　14.2.1 平方差公式
　　　　　　14.2.2 完全平方公式　　
　　　　14.3 因式分解（B1cz1403）
　　　　　　14.3.1 提公因式法
　　　　　　14.3.2 公式法　　
　　第15章  分式（B1cz15）
　　　　15.1 分式（B1cz1501）
　　　　　　15.1.1  从分数到分式
　　　　　　15.1.2  分式的基本性质
　　　　15.2 分式的运算（B1cz1502）
　　　　　　15.2.1 分式的乘除
　　　　　　15.2.2 分式的加减
　　　　　　15.2.3 整数指数幂　　
　　　　15.3 分式方程（B1cz1503）　　
　　第21章 一元二次方程（B1cz21）
　　　　21.1 一元二次方程（B1cz2101）
　　　　21.2 降次 —— 一元二次方程的解法（B1cz2102）
　　　　　　21.2.1 配方法
　　　　　　21.2.2 公式法
　　　　　　21.2.3 因式分解法
　　　　　　21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系　　
　　　　21.3 实际问题与一元二次方程（3）（B1cz2103） 

【高中数学】
       1.线性代数  选修4-2：矩阵与变换（B1gzx42）

【补充知识】