分式及分式方程 等腰三角形

分式及分式方程 等腰三角形  

 代数：分式及分式方程

    几何：等腰三角形

 

［学习目标］

    代数：分式定义；分式有意义与值为0的条件；分式的加减乘除运算，掌握含有字母系数的一元一次方程，可化为一元一次方程的分式方程的解法。

    几何：掌握等腰三角形的性质及判定；掌握线段的垂直平分线的性质及判定

 

二. 重点、难点：

    重点：

    代数：分式的概念及运算；可化为一元一次方程的分式方程的解法。

    几何：等腰三角形的性质与判定；线段的垂直平分线的性质及判定

    难点：

    代数：分式计算；分式方程的解法

    几何：等腰三角形的判定，线段的垂直平分线的判定

 

三、知识结构

    代数：

  1. 分式

  2. 含有字母系数的一元一次方程 

  3. 可化为一元一次方程的分式方程 

    几何：

    等腰三角形

    线段的垂直平分线

 

【典型例题】

  例1. 求使得下列各式有意义的x的范围及使得下列各式值为零的x值。

    （1）              （2）

    分析：有意义，分母≠0；值为零

    解：（1）要使有意义，需

    即当x≠±1时，分式有意义

    要使值为零，需

    由①，得x＝0或x＝－1

    由②，得x≠±1

    ∴当值为零。

    （2）要使有意义，需

    即当x≠±1时，分式有意义

    要使值为零，需

    由①，得x＝0

    由②，得x≠±1

    ∴当x＝0时，值为零。

 

  例2. 化简

    （1）

    （2）

    解：（1）原式

                 

    （2）原式

             

 

  例3. 解方程

    （1）

    （2）

    解：（1）方程的两边同乘以，得

   

    ∴

    检验：当x＝1时，

    所以x＝1是增根，原方程无解。

    （2）方程两边同乘以abx，得

   

    移项，得

   

    ∵

    ∴方程两边同除以，得

   

 

  例4. 如图：AB＝AC，∠A＝40°，∠PBC＝∠PCA，求∠BPC。

    解：设∠PCA＝x，则∠PBC＝x，设∠PCB＝y

    ∵AB＝AC

    ∴∠ABC＝∠ACB

    ∴∠PBA＝y

    在△ABC中，∠A＋∠ACB＋∠ABC＝180°

    ∴∠ACB＋∠ABC＝180°－∠A＝180°－40°＝140°

    即2(x＋y)＝140°，∴x＋y＝70°

    在△PBC中，∠CPB＝180°－（x＋y）＝180°－70°＝110°

    即∠BPC＝110°

 

  例5. 如图，点P是线段AB的中垂线上一点，PC⊥PA，PD⊥PB，AC=BD，求证：点P在线段CD的中垂线上。

    证明：∵点P在线段AB的中垂线上

    ∴PA=PB

    在Rt△PAC和Rt△PBD中，

   

    ∴Rt△PAC≌Rt△PBD（HL）

    ∴PC=PD（全等三角形对应边相等）

    ∴P在线段CD的中垂线上（中垂线定理的逆定理）

 

【模拟试题】（答题时间：30分钟）

  1. 下列各式中是分式的是哪些？

   

  2. 求使得下列各式有意义的条件

    ①                    ②             ③

  3. 解方程

    ①

    ②

  4. 求证：等腰三角形两腰上的高相等。

  5. 如图：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C，D。

    求证：OE是CD的中垂线。

【试题答案】

  1. ，

  2. ①               ②x为任意数        ③

  3. ①                     ②

  4. 略

  5. 提示：只需证ED＝EC