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9、概率密度函数PDF 概率密度函数PDF(Probability Density Function)可以查阅到的定义很简明：描述随机变量的输出值，在某个确定的取值点附近的可能性的函数。PDF的函数值高低，描述了数据在哪个区域分布高低。 如果要举个例子，用正态分布最容易理解： 比如正态分布，在μ处数据分布最多（我们描述为概率密度值越高），所以函数值最高。在左右两侧，概率密度值降低，说明数据点分布变得稀少。
这个函数图像上，f(x)是指随机变量X（大写X，变量集合）在观察值为x（小写x，某个数值）时的概率密度值，可不是概率值。PDF函数曲线与X轴所围成的面积表示概率，该面积等于1，因为随机变量的所有可能取值（即：100%）都在X轴上。 μ是变量X的均值，如果是标准正态分布，μ=0。比如我们理解为，数据量很大的情况下，股票每日涨跌幅服从类似正态分布的概率密度函数。实际上股票价格服从的是尾部更肥硕，表示极端大涨大跌更多，右偏，表示上涨总体情况还是偏多，这样的一种类似正态的分布。 中证500指数历史涨跌幅分布情况，将价格做price2ret之后，用histfit绘图 左侧明显肥尾，整体峰度偏向右侧 左右侧的-1σ（sigma）和+1σ（sigma），界定了变量在1个标准差内的分布情况。 对于服从正态分布的变量，其观测值： 落在距均值的距离（xi-μ），为1倍标准差范围内的概率为0.68， 落在距均值的距离（xi-μ），为2倍标准差范围内的概率为0.95， 落在距均值的距离（xi-μ），为3倍标准差范围内的概率为0.9973。 我们常用的布林带设置上下轨=2倍标准差，然后突破交易的含义为：当前值与均值的距离，突破2倍标准差（之前统计量有5%的数据是这样分布），即做趋势追踪交易。 当然最简单的情况，是均匀分布的密度函数。它的概率密度函数： 也就是说，当x不在区间[a,b]上的时候，函数值等于0；而在区间[a,b]上，每个瞬时的函数值相等，都等于这个函数1/b-a。反复去记忆PDF的概念，在某个确定的取值点附近的可能性，一个均匀分布的变量，在定义域内取值的可能性，都是恒定的。 上图是连续型均匀分布的概率密度函数，分布概率始终相等，这个PDF图像看起来和随机变量的PDF相比，显得非常奇怪，但是这样真实地表达了，在区间[a,b]上，分布的密度情况是完全不变的，均匀的。 还可以记忆一个定义：任何连续概率密度在（负无穷，正无穷）积分后结果都是1。这里利用定积分的性质，其结果是一个数值而不是一个函数，对于一个给定的正实值函数，在一个实数区间上的定积分可以理解为：在坐标平面上，由PDF函数曲线、直线以及轴围成的曲边梯形的面积值。随机变量X取到其具体某个值x的所有概率之和等于100%，这个积分值就等于1。 10、累计概率分布CDF CDF（cumulative distribution function）的概念是：它完整描述一个实数随机变量X的概率分布，是概率密度函数的积分。PDF是密度，CDF是分布，一定要区分清楚，两者也有很多联系。
CDF作为概率的累计情况，其图像的纵轴，是累计概率。横轴是随机变量X的分位数。 它表示了随机变量小于或者等于某个数值的概率P（X<=x），即：f(x) ==""><> 以上图中的红线（均值=1，标准差=1的正态分布随机变量）为例： 阶段1（x<>从左向右看，随着样本值越来越多，CDF的曲线开始缓慢上行。你可以理解为X取到小于-2值的概率非常小，往Y轴上对应可以看到，大概在0.05左右。 阶段2（-2<><>x=-1个标准差的时候，由于样本值在这个区间密度增加，CDF曲线开始加速上行，取到这个部分任何数值（-2,2）的概率都在快速增加。这一段的CDF函数值在0.05~0.95之间，你可以理解为，大部分取值的可能性都在这个区间发生了。 阶段3（x>2时）：CDF曲线再次减速缓慢上行，但是依然是上行的。和区间1类似，由于随机变量X在这部分的值已经不集中了，自然，X取到某个值小x的概率，也就变得更小，增量最后趋近于0，函数值趋近于1。 刚才我们谈到了CDF曲线上行的速度，实际上累积分布函数存在以下几个特点： 累积分布函数是X轴单调递增函数。对于给定的数据集，累积分布函数是唯一的。累积分布函数值趋近于1。 你有没有发现CDF和PDF的关系？ 其实很简单，PDF描述了CDF的变化趋势，即PDF是CDF曲线的斜率。PDF无论如何是一个大于0的数，表示了斜率无论如何也不会到0轴以下（即CDF永远是增加的），PDF最终趋近于0，代表上升速度变缓（即CDF最终逐渐地累计上升到趋近于1）。 另外CDF和PDF的横轴X都是一样的，它表示了将变量X按顺序排列。 最后放上中证500的涨跌幅CDF图像：可以看到，我放置了两个游标，x小于-0.04（跌幅超过4%）的分布总量大概是y=0.04936，也就是大约5%的下跌日，其幅度都是超过4%幅度的。 而x=0.04011对应的y=0.9742，意味着超过4%涨幅的日上涨天数，不足总体样本的3%。可见A股下跌起来都比较猛，而涨起来比较慢。这是符合行为金融学的，不过最终总体趋势还是上涨的，因为上涨的天数，还是要多一些，虽然幅度小。 所以CDF方便的帮助我们观察到，大于横轴某一数据点（分位数）的数据点，占总体的比例。 原文链接依然是车票。 |
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