中考中的最值问题,常常可以转化为求一个二次多项式的最值问题,也就是二次函数的最值问题。问题背景多样,最终都可以殊途同归。以下列举几种常见求最值问题的类型及方法。 【知识点】 初中常见的非负数有: a²≥0,|b|≥0,√c≥0, 当a,b,c分别为0时取最小值为0. 常常利用二次函数的性质或配方法来求关于x的二次多项式ax²+bx+c的最值. 公式法: 二次函数y=ax²+bx+c的顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b²)/4a), 当x=-b/2a时,y有最值(4ac-b²)/4a. 配方法: ax²+bx+c=a(x+b/2a) ²+(4ac-b²)/4a, 即当x=-b/2a时,y有最值(4ac-b²)/4a. 【题目类型分类解析】 一、常规题目一题多解 【例1】求y=-x²+2x+3的最大值. 解: 配方法: y=-(x-1)²+4,当x=1时,ymax=4. 公式法: y=-x²+2x+3的顶点坐标为(1,4), 所以当x=1时,ymax=4. 判别式法:由y=-x²+2x+3得,-x²+2x+3-y=0, △=4+4(3-y)=16-4y, 因为x的取值范围是全体实数, 原方程必有实数根, 所以△=16-4y≥0,y≤4,即ymax=4. 二、复杂题目换元法 【例2】求y= 的最值. 【总结】分式型,展开各项 解:y= , 令1/x=t,得y=-t²+2t+3,当1/x=t=1,即x=1时,y max=4. 【例3】求y= (x≥1)的最值. 【总结】二次根式型,把被开方数看成整体 解:y= , 令√(x-1)=t,得y=-t²+2t+3,当√(x-1)=t=1,即x=2时,y max=4. 三、基本不等式问题 高中公式: a+b≥2√ab(a≥0,b≥0), 当且仅当a=b时,等号成立. (说明,可以利用完全平方公式进行配方证明,分别把a与b看成整体的平方) 【例4】求y=x+1/x(x>0)的最值. 根据基本不等式,得y=x+1/x≥2, 当且仅当x=1/x,即x=1(x=-1舍去)时,y=2. 配方法: y=x+1/x= , 当 ,即x=1时,ymax=2. 【例5】求y= (x>0)的最值. y= . ,即x=√3时,ymin= . 方法多样,根据题目得出的表达式结果,再选择恰当的方法。 【变式练习】 |
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