|
相信大家已经对“最美”这样的词汇相当疲劳了，有关最美公式的文章也都已经看过很多了，这篇我将从最美公式中的一个开始，努力来和大家一起探讨些不一样的内容。 并解释说这个公式将数学中最为重要的几个元素融合在了一起，我也在似懂非懂中明白了点为什么这个公式能加入了最美公式的行列。 但当时我还停留在其作为数学公式的美感之中，完全不能理解指数里带一个虚数是什么意思，直到后来才慢慢体会到这个公式的魅力。 提醒：这篇虽然我已经尽量简洁，但仍然还是比较长，而且前面铺垫也会稍长。希望各位如果对傅里叶变换或者通信等方面的内容感兴趣可以顺着读完，相信会有收获的。 下面咱们从简单的虚数和复数说起。 (1)从实数开始 那咱们是否有再去想复数实际是什么？为什么一定是共轭的两个根？而且一定是虚部符号相反呢？ (2)虚数的维度 那虚数是什么？虚数是与实数完全不同的另一个空间的数，如果实数是定义在实数轴上的一个一维的数，加入了虚数的复数就成为了一个二维空间的数，除了实数维度，还多出了完全正交的虚数维度。这么说可能有点抽象，咱们来一起稍微展开看看。 首先咱们需要理解引入虚数后的最关键的运算——乘法。换个角度来理解可能比较有意思，复数乘法实际上是对实数轴的维度扩展而引入的一个新的操作——旋转，一个将实数的一维空间拓展到二维的旋转。 举两个简单的例子吧。 说到复数的加法，其实非常简单。上面也已经提到了，虚数属于与实数完全正交的另一个维度，因此，实数和虚数在相加的过程永远不会相互转化，只能是实数与实数相加，虚数与虚数相加。 别急，下面开始进入正题了~ (3)欧拉公式的一般形式
这个公式本身是数学公式，自然有很多数学应用，比如考虑到乘法中指数函数的特殊性，如果复数的乘法操作可以使用一个指数函数乘法来代替，而指数函数的乘法就可以转换成指数的加法，就可以利用这个属性来实现很多数学问题的简化处理，这里就举个最简单的例子。
上面利用欧拉公式和实数和虚数的正交特性非常轻易得到了三角函数的和角公式，回想到高中的和角公式解析几何证明，高下立判。^_^
(4)从欧拉公式往前迈一小步
上面这个动画的显示速度和设备相关……我发誓GIF的时间设置是正确的……
不知道上面看了这么多以后，现在的你看到这个公式和这个动图会不会感受不太一样呢？^)^ 看完这个动图是不是就更能理解为什么上面说余弦（正弦）曲线是一个更高维度的旋转投影在当前维度上了呢？:) 如果觉得这个旋转还有点抽象，没关系，咱们再往前迈一步。^_^ (5)再迈一小步 上面的描述实际已经是一个三维空间了，包含了两个空间维度(X/Y)和一个时间维度，但这并不是咱们熟悉的空间，咱们这里再引入一个空间维度。
让咱们这里暂时忽略k的物理含义，来一起直接来用动画看看这个表达式所代表的空间意义。
在YZ平面内的红色小圆是不是看着很熟悉？是和上节相同的二维旋转。:) 必须要提醒的是，在这里咱们关注的重点不再是YZ平面内的红色圆圈了，而是三维空间蓝色曲线。^_^ 觉得不太明显？那来换个角度看看~
如果这个不够明显，那咱们来一起看看在XZ平面上的投影：
这次够明显了吧？^_^ Yes！这个投影就是二维传播的平面波，而上面的那个三维图就是一个典型的右旋圆极化电磁波的电场时空传播特性。^_^ 换言之，这个使用欧拉公式表达的看似普通的形式实际上是平面波动方程的解，也是由麦克斯韦方程组获得的无耗介质波动方程的解~ (5)结语 考虑到篇幅，本篇里仅仅是点到而已，特别是没有提及的一点就是一个自然常数的指数函数在微积分中的特殊意义，各位可以自行脑补哈。但想必说到这里，咱们已经能够感受到欧拉公式在咱们世界中不可动摇的基石地位。 欧拉公式只是一个纯粹的数学公式，也是我所知的最能够与物理和世界建立如此紧密的联系的例子。对于不是数学专业的我，这篇可能稍显业余，但是这一篇是往下讲后面的很多篇幅的基础，不理解欧拉公式，就不能理解傅里叶变换，不能理解复指数信号，不能理解咱们建立在这之上的不计其数的通信相关的知识和咱们精彩的世界。 咱们以后会接触到更多使用欧拉公式的场合，这一篇只要能建立起一个欧拉公式与二维空间的对应关系就够了。而且，真心希望大家能从本篇内容中有所收获。^_^
公众号已经中断更新半年了，这一年过得着实不易，感谢身边的人不断的鼓励和问候，是你们让我能够鼓起勇气继续前行，也感谢能够还在关注这个公众号的各位，新年我会努力多更新几篇的。 最后，衷心祝愿即将出征的电磁监测试验卫星能够一切顺利。 P.S. 封面的底图是《太空救援》里我超级感动的一个场景，可能只有航天人才能理解这个场景背后的艰辛与坚定吧。 附录：欧拉公式的简单证明
|
|
|
