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——以“探究最短路径问题”为例 张伟俊（江苏省常州市武进区湖塘实验中学） 摘要：“综合与实践”课是一类以问题为载体，以学生自主参与为主的学习活动．初中数学“综合与实践”课为学生提供了一个综合运用所学数学知识、技能与思想方法解决问题的机会，有利于丰富学生的数学活动经验，培养学生的问题意识、应用意识、创新意识，提高学生解决实际问题的能力．从“探索最短路径问题”的教学来看，初中数学“综合与实践”课的实施重在综合、重在实践，教师要努力通过问题引领，让学生能自主全程参与学习过程，并能在相对完整的实践过程中感悟数学的本质． 关键词：综合与实践；教学案例；实施建议 《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，“综合与实践”是一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动．初中数学“综合与实践”课为学生提供了一个综合运用所学数学知识、技能、思想方法解决问题的机会，有利于丰富学生的数学活动经验，培养学生的问题意识、应用意识、创新意识，提高学生解决实际问题的能力．基于以上原因，各地区近年来对 “综合与实践”课都给予了不同程度的重视，但重视程度和实施水平还参差不齐．现通过对初中数学“综合与实践”课的课程建设、课型范式、教学策略等几个方面的研究，推进初中数学“综合与实践”课程的常态化实施．下面，笔者就一节研究课人教版《义务教育教科书·数学》八年级上册第十三章第四节“探索最短路径问题”，谈一谈自己对初中数学“综合与实践”课教学实施的一些想法，以期与广大读者交流分享． 一、“综合与实践”课的教学案例 最短路径问题是现实生活中非常常见的一类问题，也是数学研究的一个分支，初中阶段主要是以“两点之间，线段最短”为知识基础，借助平移、轴对称等变换展开研究．在学生具备了以上知识基础时，适时开展“综合与实践”课“探索最短路径问题”，既能激发学生的学习兴趣和探究热情，提高学生利用所学知识解决实际问题的能力，又能丰富学生的数学活动经验，培养学生的问题意识和探究精神． 1.课前自主探究，唤醒已有经验 问题1：如图1，直线 是一条平直的公路，A，B是某公司的两个仓库，位于公路两旁，试在公路上找一点建一货物中转站C，使点A，点B到点C的距离和最小，试找出点C的位置并说明理由． 问题2：如图2，在平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池，不考虑其他因素，画图确定水池点M的位置，使它与四个村庄的距离之和最小． 【设计意图】通过两个简单的实际问题，唤醒学生的已有经验，即两点之间，线段最短，并尝试着用这样的经验解决生活中的简单问题．这既能引发学生对最短路径问题的关注和思考，又能为学生进一步深入探究最短路径问题提供知识准备和心理基础． 2.课内互动探究，积累活动经验 问题3：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图3中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？精通数学和物理的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为将军饮马问题．你能尝试解决这个问题吗？ 追问1：你能将这个实际问题转化成数学问题吗？ 如图4，将地点A，B抽象成两个点，将河边l抽象成一条直线，就是要在直线l上找一个点C使AC与BC的和最小． 追问2：如图1，当点A，B在直线l的异侧，点C在直线l上的什么位置时，AC与BC的和最小？为什么？ 点C应该取在线段AB与直线l的交点处，原因是两点之间，线段最短． 追问3：如图4，当点A，B在直线l的同侧，点C在直线l上的什么位置时，AC与BC的和最小？ 学生先独立思考，画图分析，然后再小组合作交流，最后全班展示． 追问4：“点A，B在直线l的同侧”能否转化成“点A，B在直线l的异侧”呢？怎样转化？ 只要能在直线l的另一侧找到一个点B′，使得CB′=CB，就能将“点A，B在直线l同侧”的问题转化成“点A，B在直线l异侧”的问题，进而实现将军饮马问题的解决，即：如图5，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′，则AB′与直线l的交点就是点C． 追问5：证明为什么此时AC与BC的和最小？ 如图6，在直线l上任取一个异于点C的点C′，连接AC′，BC′，B′C′，根据“两点之间，线段最短”，可知AB′＜AC′+B′C′，即AC+BC＜AC′+BC′. 从而证得点C即为所求． 【设计意图】此环节以数学史中的典型问题“将军饮马问题”展开对最短路径问题的探索，通过问题串引领学生经历将实际问题数学化的过程，借助轴对称变换将难以解决的“同侧线段和”问题转化为容易解决的“异侧线段和”问题，体会转化思想的优势——化难为易、化繁为简． 问题4：如图7，某部队士兵举行跑步训练，要求先从点A跑到公路l上的点P，再从点P在公路l上跑1千米到达点Q，然后再从点Q跑到位于l异侧的点B，士兵该如何跑才能使从点A到点B的路径“AP—PQ—QB”最短？试画图确定PQ的位置，并画出最短路径（作图时用1厘米表示1千米）． 学生先独立思考、画图分析，然后再小组合作交流，最后全班展示． 追问6：问题4与问题1有什么联系和区别？你能将问题4转化为问题1吗？由于PQ是一个定值，所以要使路径““AP—PQ—QB”最短，就是要使AP+BQ的值最小，现在AP与BQ没有公共端点，在保持线段长度不变的条件下，怎样才能使点P与点Q重合呢？ 如图8，如果将AP沿直线l的方向向右平移与PQ等长的距离，点P与点Q就重合了，于是这一问题就转化成问题1了．进而形成解决问题的办法，即将点A沿直线l的方向向右平移到点A′，使AA′=PQ=1cm，连接A′B，则A′B与直线l的交点就是点Q.在直线l上向左取点P，使PQ=1cm，连接AP，即可得到最短路径“AP—PQ—QB”． 学生先独立思考，画图分析，然后再小组合作交流，最后全班展示． 追问8：问题5与问题4有什么联系和区别？你能将问题5转化为问题4吗？ 如图11，由于河岸宽度是一个定值，也就是桥宽MN是一个定值，因此要使路径“AM—MN—MB”最短，就是要使AM+BN的值最小，类比问题4的方法，将点A沿与河岸垂直的方向平移到点A′，使AA′=MN，连接A′B，则A′B与河岸b的交点就是点N.过点N作与河岸a的垂线，交河岸a于点M，连接AM，即可得到最短路径“AM—MN—MB”． 追问9：你能证明这种做法的合理性吗？ 学生类比问题3的证明思路，说明证明方法，教师适时点拨． 【设计意图】此环节重点引导学生用类比的方法，自主探索造桥选址问题，进一步明确运用平移变换将“两定点+两动点”的最短路径问题转化为“两定点+一动点”的最短路径问题的方法，体会类比学习和转化思想的价值和精髓． 课堂总结：通过本节课的探索，你有哪些收获？感受最深的是什么？ 【设计意图】课堂总结时，教师留学生足够的 “悟”的时间与空间，引导学生去总结经验、把握规律并感悟方法，促使学生真正做到举一反三，为学生的后续学习和可持续发展奠定基础． 3.课后深化探究，强化新获经验 2．“综合与实践”课的教学重在实践 “综合与实践”课的教学注重学生的自主参与、全程参与，提倡以学生的现实生活和学习实践为基础，以活动为主要形式，强调智慧形成于学生应用知识解决实际问题的各种教育教学实践活动中．在本课的教学中，教师在课堂上为学生提供了大量自主探究、动手实践、质疑反思、合作交流、展示汇报的机会，引导学生积极动脑、动手、动口，在做数学、用数学、学数学的过程中，积累数学活动经验，提高学生解决问题的能力，使学生真正认识到数学有用、可用、能用，并做到想用、会用． 3．“综合与实践”课要凸显以学生为主体 “综合与实践”课是一类教师通过问题引领、学生全程参与、实践过程相对完整的学习活动．在本课的教学中，教师能大胆放手让学生参与，鼓励学生在自主探索的基础上，展开合作交流、展示汇报，真正将“学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者”落到实处．教师的作用在于在课堂动态生成的过程中，能准确捕捉学生的学习困难，通过有效提问和引起学生深思的追问，启迪学生的思维，帮助学生解疑释难．也许这样做不如教师讲一个好的解法更加直接，或许需要付出更多的时间，甚至还要付出“走弯路”的代价，但这是值得的，是有价值的． 4.“综合与实践”课要以问题为载体 “综合与实践”课强调以问题为纽带，引领学生经历探究的全过程．在本课的教学中，教师采用“问题情境—建立模型—解释说明—应用拓展”的模式展开教学，以问题情境引领学生以数学的眼光看待和分析周边的世界，以即时追问激起学生的深思，引导学生发现问题、提出问题，以有效问题串引导学生运用所学的数学知识、技能、思想、方法去分析问题、解决问题，循环往复、不断深化．一方面，这个过程暴露学生产生的各种疑问、困难和矛盾，另一方面，这个过程也展示学生聪明才智、独特个性和创新成果的过程，有利于学生积累经验、提炼方法、增强能力、锤炼思维． 5．“综合与实践”课是一种过程教学 “综合与实践”课是一种引导学生全身心地投入到与外部世界的交往之中，通过身体活动探求未知世界的一种过程教学．“综合与实践”课的学习不仅要用脑子思考，而且要用眼睛看、耳朵听、嘴巴说、双手做，即用自己的身体去经历、用心灵去感悟．事实上，这不仅是理解知识的需要，更是激发学生生命活力，促进学生生命成长的需要．本课的教学强调学生的“操作实践” “探究经历”和“数学思考”，教师不仅要关注结果，更要关注过程，鼓励引导学生在“综合与实践”的过程中，积累活动经验，展现思考过程，交流收获体会，激发创造潜能． “综合与实践”课的核心是数学探究和数学应用，它有利于激发学生学习数学的兴趣和学好数学的信心，有利于增强学生的数学模型思想和应用能力，有利于学生全视角理解数学的本质，乃至有利于增强学生的问题意识和创新意识．据此，我们不能再做数学“综合与实践”课的观望者了，而应该一起致力于推进数学“综合与实践”课的常态化实施． 参考文献： ［1］中华人民共和国教育部制定．义务教育数学课程标准（2011年版）[M]．北京：北京师范大学出版社，2012． ［2］教育部基础教育课程教材专家工作委员会．《义务教育数学课程标准（2011年版）》解读[M]．北京：北京师范大学出版社，2012． ［3］林群．义务教育教科书·数学（八年级上册）[M]．北京：人民教育出版社，2013． ［4］王冰．转化思想：解决实际问题的金钥匙[J]．中学数学教学参考（中旬），2013（3）：38—40． |
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