大年初二，是时候锻炼一下空间想象能力了（18年2月17日）

世界上最可怕的事，

是那些比你聪明的人却比你还努力。

努力的孩子运气总不会太差。

今天的奥数题是关于正方体分割问题，

所用知识不超过小学5年级。

 

题目（4星难度）：

有125个棱长为1的小正方体，其中64个是红色，61个是蓝色。用这些小正方体组成一个棱长为5的大正方体。请问这个大正方体的表面积中，红色部分面积最多有多少？

 

答案：116。

 

辅导办法:

将题目写给小朋友，让他自行思考解答，若20分钟还不能解答，由家长进行讲解。

 

讲解思路：

这道题属于正方体分割与极端构造问题的组合，

在解答之前，

先思考组成大正方体的小正方体中，

按朝外的面不同共有多少个。

(点击参考1月30日关于正方体分割的题目)

然后构造思考极端情况，

解决最多的问题。

 

步骤1：

先思考第一个问题，

组成大正方体后，

按朝外的面不同，

小正方体的种类和个数是多少？

显然小正方体最多3个面朝外，

最少0个面朝外。

第一种：

0个面朝外的小正方体在内部，

数量是3*3*3=27；

第二种：

1个面朝外的小正方体在6个面上，

但又不在棱上，

数量是6*3*3=54；

第三种：

2个面朝外的小正方体在棱上，

但不在顶点处，

数量是12*3=36；

第四种：

3个面朝外的小正方体在顶点，

数量是8。

 

步骤2：

再思考第二个问题，

红色部分表面积最多多少？

按照极端问题的解法，

先构造极端条件。

要红色部分面积最大，

就是要尽量先把红色小正方体安排在朝外的面多处。

其中8个有3面朝外，

面积是3*8=24；

另外36个有2面朝外，

面积是2*36=72；

剩下20个有1面朝外，

面积是1*20=20。

所以红色表面积最大是

24+72+20=116。

 

注:本题另有简便做法，

考虑蓝色部分的最小，

蓝色最小为61-27=34，

则红色最大是150-34=116。

但为了练习空间想象能力，

给小孩子讲解时，

不推荐直接讲解简便做法。