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国际上AR在数学教学中的应用 基础教育是目前国际上AR在数学中应用研究案例最多、最集中的领域。 韩国Lee等人的团队采用了AR书本的模式，制作了AR版的“大富翁”教育游戏。他们用游戏化的方式帮助小学生了解掷骰子这一生活中常见事件背后的数学知识。在这个案例中，研究者充分利用了AR虚实结合的特性，学生通过投掷真实世界中的骰子，AR应用通过摄像头记录点数并用于虚拟场景中角色的“前进”。与传统游戏的不同在于，学生可以进行自然交互，即直接投掷一个真实的骰子，这也充分体现了AR的特点。该游戏在实际应用的过程中显著提升了学生的参与程度。 中学阶段，AR的数学应用研究更多关注对数学思维的培养和提升学习效果。学生从中学开始在学习中接触到更多抽象、难以理解的概念，对探究能力和数学思维能力的要求也越来越高，更强调数形结合等思维能力。 【图 1 使用AR观察函数图像】 如图1所示，墨西哥的Salinas等人将AR应用于函数图像学习，学生在一个真实的平面上使用AR构建坐标系，观察常见函数的图像，这种方式对于学生形象化思维的培养以及对函数的理解都有很大的帮助。AR展示的场景是基于真实的三维场景，所以该应用不仅可以展示平面的函数图像，还可以展示三维坐标系中的立体图像，结合AR的函数学习帮助学生在学习知识的同时提升学生的数学能力。 AR数学教学的实证案例 国内最早开展课堂内AR并一直探索的团队是北京师范大学教育技术学院“VR/AR+教育”实验室（http://ar.）。相对于国外学者主要关注AR与几何学习的结合，“VR/AR+教育”实验室设计和开发的案例涵盖了代数、几何、概率等数学分支，并深入教学一线进行实证研究，对于我国AR与数学整合具有重要的指导意义。 1.AR代数应用——复数及其运算 复数是高中数学内容，对于学生来说，复数的概念显得难以理解，而复数运算法则如果不借助图像也难以理解。在传统的教学场景中，教师只能告诉学生复数的运算公式。而借助AR手段，学生可以对复数的加法、乘法规则进行探究式学习。如图2，学生用两张标记卡片代表两个不同的复数。应用会捕捉两个标记的位置，并转化为两个复向量，给出复数表示形式。在向量的平行四边形法则的基础上，学生观察到两个向量和向量的表示法。学生改变两个标记的位置，可以观察到不同的复数及其相加之后的和的表示形式，并据此自己总结出复数的加法公式。同样的，向量的乘积也可以类似直观表现出来。 【图 2 使用AR探究复数的运算规律】 此案例在四川省成都市郫县一中进行了教学实验，对象是该校高一学生6人和高三学生6人。教师首先引出复数的概念，之后借助AR来介绍复平面与复向量。学生两人一组进行协作学习，使用AR探究复数的运算法则。实际使用效果表明，任课教师认为AR应用充分调动了学生学习的积极性。学生表示通过AR来观察复数及其运算，对于复数的概念和它的实际意义有了更深入的认识。 通过探究学习，学生深入理解复数与复平面上向量的对应关系，理解复数加法和乘法的原理。这样通过观察、记录，最后总结出结论的方式，其实是科学研究中最为基本的手段。AR应用作为探究式学习的手段，促进了学生的理解，提升了学生的探究能力。 2.AR几何应用——三视图 将几何体的直观图和三视图联系起来，会画简单几何体的三视图是初中数学立体几何的教学目标。由于学生在初中阶段接触平面几何为主，在接触立体几何时，由于空间想象力不足而存在着一定的困难。 北京师范大学“VR/AR+教育”实验室设计和开发的AR三视图案例就是帮助学生检验学习成果并验证结论的。在本案例中，学生将结合一套实物卡片和AR应用进行学习。 【图3 使用AR进行三视图学习】 共有两类卡片，一类卡片上写有几何体名称，如“长方体”“圆柱”，另一类卡片上绘制三视图。如图3，学生将两类卡片组合，如果组合正确，可在平板电脑上看到几何体。学生可拖曳、旋转几何体进行观察，也可以调整摄像头的位置，从不同角度观察。 此案例中，AR将抽象化内容具体化、形象化的特征得到了很好的应用，学生可以观察从简单到复杂的各类不同空间几何体。相对于传统教学手段中学生只能通过想象或制作实物模型来学习几何体的三视图而言，增强现实技术实现了学生对任意几何体的观察，并且可以直接通过移动平板电脑的摄像头来从不同的角度进行观察。这对于学生理解投影、三视图等几何概念有很大的帮助。 本案例也在北京市育英学校的七年级学生中进行了实际试用。结果表明，学生在使用AR辅助三视图学习之后，在相关练习题的正确率和做题时间上都有进步，且学生们对于AR应用的接受度和满意度都较高。 3.AR概率统计应用——探究式学习频率与概率 概率与统计是数学中的重要内容。在多媒体教学时代，概率和统计学习中常见的工具有动画、 Excel表格或者各类统计软件，但这些工具都服务于教师的课堂教学，属于典型的CAI（Computer Assisted Instruction，计算机辅助教学）应用，学生缺乏参与感。 以初中数学《频率和概率》为例，学生要了解频率和概率两个概念之间的关系，可以通过试验总结。以经典的抛硬币实验为例，教师可以组织学生在课堂中完成抛硬币并绘制频率曲线图的探究式学习活动，但是需要学生手动绘制图像，学生在做试验的同时计算并画图，在有限的课堂时间内很难做到高效。另一种方法，比如使用Flash进行模拟并直接生成频率曲线图，但学生缺乏真实抛硬币的参与感，并且不信任计算机随机给出的结果。而AR就可以解决这个矛盾。 此案例中，学生使用AR应用作为探究式学习工具。学生抛硬币，硬币的两面，用AR应用来记录结果。每次结果被成功记录后，系统会给出提示，应用会自动生成此时硬币正面朝上的频率曲线。这样既简化了记录和计算、绘图的过程，又保留了学生的亲自参与感。 使用AR进行探究学习，提升了探究学习活动的效率，在有限的课堂时间内可以进行多次试验，学生更能理解两个概念的区别和联系。同时，此案例还可帮助教师将学生的试验结果汇总，绘制出试验次数更多的曲线图。学生借助于AR亲自探究得出结论，保留了自然的交互方式——在真实的环境中投硬币，充分发挥了AR的优势所在。 此案例中，AR并非用于展示，而是用于探究。体现了信息技术与课程深层次整合的信息获取、多重交互、自我探究和协作学习等特征，也给AR在教学、学习当中的应用提供了新的思路。 总 结 AR的数学应用在时间上涵盖了从学前教育到高等教育的各个阶段，在范围上也可以涵盖数学的不同分支。从教学和学习的方式上看，AR既可以用于内容展示，也可以用于探究式学习、提供深层次的交互。随着技术的不断发展进步，AR内容制作的成本和门槛会继续降低，这给AR内容走进数学课堂提供了更多机遇。 在数学中，大多数的AR应用案例是将AR作为一种展示内容的手段和媒体使用。这在一定程度上体现了AR的优势和特色，但没有发挥AR的独特优势。未来的数学AR应用，应该更加重视学习活动设计，让AR应用不仅作为教师教学的辅助工具，并且更好地融入学生的学习过程中，与不同学习方式结合，发挥AR的更多优势和特色。通过综合多种教学、学习方式以及学习活动设计，使AR作为一种新的学习环境对教和学都产生积极的影响。 未来的数学AR教育应用还需要更好的教学设计，将增强现实作为促进学习问题解决的一种技术更好地融入到学习场景当中。
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