正切定理

折叠 编辑本段 ​简介

英文名称：Tangents

概况：正切定理是三角学中的一个定理。

在平面三角形中，正切定理说明任意两条边的和除以第一条边减第二条边的差所得的商等于这两条边的对角的和的一半的正切除以第一条边对角减第二条边对角的差的一半的正切所得的商.

折叠 编辑本段 发展

正切定理法兰西斯·韦达(François Viète)曾在他对三角法研究的第一本著作《应用于三角形的数学法则》中提出正切定理。现代的中学课本已经甚少提及，例如由于中华人民共和国曾经对前苏联和其教育学的批判，在1966年至1977年间曾经将正切定理删除出中学数学教材。不过在没有计算机的辅助求解三角形时，这定理可比余弦定理更容易利用对数来运算投影等问题。

折叠 编辑本段 内容

折叠 取值范围

tanθ>0

折叠 变化情况

1.锐角三角函数值都是正值。

2.当角度在0°～90°间变化时，

正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） ，余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） ；

正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） ，余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；

正割值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），余割值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）。

3.当角度在0°≤A≤90°间变化时，0≤sinA≤1, 1≥cosA≥0；当角度在0°<A0, cotA>0。

正切定理：

（1） (a + b) / (a - b) = tan((A+B)/2) / tan((A-B)/2)

（2） (b + c) / (b - c) = tan((B+C)/2) / tan((B-C)/2)

（3） (a + c) / (a - c) = tan((A+C)/2) / tan((A-C)/2)

折叠 证明

由

开始，由正弦定理得出

（1）式得证。

同理，可证得（2）（3）两式。