【专题系列】好题赏析,进阶学习! (2017-2018学年上学期八年级期末莆田市检卷压轴题) “攀峰随笔”公众号,微信号panfeng0077
(1)“操作”—“验证” 由△ABC为特定三角形(含22.5°的直角三角形),设置已知条件“∠A=90°,∠B=22.5°”得到∠C=67.5°,即有分割之法:(1)从大角∠A或∠C中截取部分角使它等于∠B,(2)验证另一个三角形为等腰三角形; (2)“探究”—“生成” 到△ABC为不定三角形(含24°的三角形),利用上述方法进行构造符合条件的三角形; (3)“猜想”—“结论” 到猜想发现一个三角形能分割成两个等腰三角形,需满足的条件.
第1步,考生能通过角度的计算得出答案(知识储备“三角形的内角和”、“角的和差计算”),也可观察出这个图形的特殊性(22.5°---45°---67.5°---90°),从而得到图形美,规律美(22.5°---2×22.5°---3×22.5°---4×22.5°). 第2步,旨在引导考生能在第1步的思路下,继续利用导角的方法解决,但又体现能力的提升,从已知最小内角的度数(∠B=24°)到利用两个等腰三角形之间关系,构造符合条件的三角形,从单纯考查的计算能力上升到分类讨论、构造作图,也可观察出这类图形具备的角度之间的特性。 第3步,从特殊到一般的,“定2个内角”——“定1个内角”——“一般性结论导出”体现这道试题思维的连贯性,做为压轴中的压轴,这一步还是有难度的,第一层,要能设元参数思想;第二层,要能从具体中去抽象,通过猜想去发现结论.
思维入口一(以AC边构造等腰三角形) 验证可得 图1-1,图1-3中的D’与D”均不符合题意,只有图1-2成立. 思维入口二(以AB边构造等腰三角形) 验证可得 图1-4中的D’不符合题意. 思维入口三(以三边构造垂线平分线) 验证可得 图1-5、图1-6、图1-7中的D1、D2均符合题意,且图1-5与图1-6分割线为同一条,图1-7与图1-2分割线为同一条. 反思 以上两种分析分别从“以角的分割”,“以边的截取”的两种方法进行全面思考,虽然分析二分类繁杂,但我们应从不同角度全面思考,摆脱固定的思维模式,发现思维过程中的不足,完善思维的过程以及培养思维的严密性,养成从优从快的思维习惯,激发思维的创造性和灵活性,提高解题效率。
第2步
综上所得,满足条件的三角形的最大内角可能值是84°,90°,108°,117°. 第3步
具体分析详见公众号(并附微课堂): 【数学美】探寻分割三角形之条件
若第2步中将条件弱化,结论会产生怎样的变化?挖掘在不同背景下,根据结论的演变,进行题目的创设。 示例:在△ABC中,∠ABC=24º,若一条直线恰好把原三角形分割成两个等腰三角形,求△ABC最大内角的所有可能值.
聪明的你不妨拿起笔来,分析、构图哟,相信你将会在探究中享受几何构图的乐趣! 请你解答后与攀老师留在文末的答案对照一下.
(1)等腰三角形的存在性探究 ①以边分类 如△ABC中,AB=AC,BA=BC或CA=CB. ②以角分类 如△ABC中,∠A=∠B,∠B=∠C或∠C=∠A. (2)等腰三角形的作图探究 三种情况要全面(两圆一直线)
(附示例答案: 84°,90°,108°,117°,144°,148°)
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