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打开数学，解开疑惑 基础知识点： 1.角的平分线分得的两个角相等，角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线； 2.角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 3.角平分线性质定理的逆定理：在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。 4.三角形的内心：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等，这个交点叫做三角形的内心； 5.等腰三角形底边上的高（或中线）平分顶角（三线合一）。 一、根据对称性，截长补短构造全等 例题、已知：如图，在△ABC中，∠C=2∠B,AD平分∠BAC，求证：AB-AC=CD 解析： 方法一、截长构造全等 在线段AB上取点E，使得AC=AE 易证△ACD≌△AED 再证等腰△EBD即可 方法二、补短构造全等 延长AC到E，使得CE=CD ∴∠E=1/2∠ACD=∠B 再证△ABD≌△AED即可 二、根据角平分线的性质向角两边作垂线构全等 例题、如图，已知AB＞AD,∠BAC=∠FAC,CD=BC。求证：∠ADC+∠B=180° 解析： 由C点向∠BAF的两边作垂线 HL证明Rt△BCN≌Rt△DCM 由此得到∠ADC+∠B=180° 三、根据等腰三角形三线合一，作角平分线的垂线构造等腰三角形
从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交） 例题、如图，∠BAD=∠DAC，AB＞AC,CD⊥AD于D，H是BC中点。求证：2DH=（AB-AC） 解析： 延长CD交AB于点E 则可得等腰△ACE 进而得到DH为△CBE的中位线 问题可证 四、以角分线上一点做角的另一边的平行线构造等腰三角形 有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形。如下图所示 例题、如图已知：在△ABC，∠B的角平分线与∠C的外角平分线相交于M，过M做BC的平行线分别交AB、AC于E、F。求证EF=BE-CF。 解析： 等腰△BEM与等腰△CFM 得到BE=ME、CF=MF 进而得到EF=ME-MF=BE-CF 三角形内外角平分线有关结论 结论1：如图1，点D是△ABC两个内角平分线的交点，则∠D=90°+ 1/2∠A.
结论2：如图2，点D是△ABC两个外角平分线的交点，则∠D=90°- 1/2∠A.
结论3：如图3，点D是△ABC一个外角平分线和一个内角角平分线的交点，则∠D=1/2∠A.
结论4：如图3，点D是△ABC一个外角平分线和一个内角角平分线的交点，则AD是△ABC的外角平分线.点DD是△ABC旁心（三角形旁切圆的圆心,简称为三角形旁心，它是三角形一个内角的平分线和其他两个内角的外角平分线的交点；显然，任何三角形都存在三个旁切圆、三个旁心）
结论5：如图4，点D是△ABC一个内角平分线和一边的交点，则BA:BC=AD:CD
结论6：如图5，点D是△ABC一个内角平分线和一边的交点，则BA:AC=BD:CD
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