三角形汇总（五线、五心、相似、全等、面积、正余弦定理）

一、三角形有关概念

1、三角形分类

按角分类	钝角三角形、锐角三角形、直角三角形
按边分类	不等边三角形、等腰三角形（等边三角形是特殊的等腰三角形）

2、三角形五线

高	从三角形一个顶点作对边垂线,顶点和垂足之间的线段
中位线	连接三角形两边中点的线段
中线	连接三角形一个顶点和它的对边中点的线段
角平分线	三角形一个角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段
中垂线	三角形一个边的中点的垂线

3、三角形五心

内心	1、三条内角平分线的交点 2、即内切圆的圆心	1、.三角形一个顶点与内心的连线平分这个角 2、内心到三角形三边的距离相等
重心	1、三条中线的交点	1、三角形顶点与重心的连线必过对边中点 2、重心到每边中点的距离等于这边中线的
外心	1、三边的垂直平分线的交点 2、即外接圆的圆心	1、过外心垂直于三角形- -边的直线必平分该边 2、外心到三角形的三个顶点的距离相等 3、外心与三角形一边中点的连线必垂直于该边
垂心	1、三条高的交点	1、三角形的一个顶点与垂心连线必垂直于对边
旁心	1、两角的外角平分线的交点	1、三角形有三个旁心

4、相似三角形

定义：三个角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫相似三角形；

5、全等三角形

定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；

判定：角边角（ASA）、边角边（SAS）、角角边（AAS）、边边边（SSS）、HL.

二、三角形的几何原理

1、三边关系定理：三角形两边之和大于第三边、三角形两边之差小于第三边.

2、直角三角形的判定：两个角互余的三角形是直角三角形.

3、直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余.

4、30°角定理:在直角三角形中，30° 的角所对的边等于斜边的一半.

5、直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

逆定理：若三角形一边上的中线等于该边边长的一半，则这个三角形为直角三角形

6、三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180°.

推论1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.

推论2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

结论：锐角三角形，两角和大于第三角；钝角三角形，两锐角和小于钝角；直角三角形，两锐角和等于直角

7、等腰三角形的判定定理：一个三角形有两个角相等，则这两个角所对的边也相等(即等角对等边）。

推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形.

推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.

8、等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等（即等边对等角）.

推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边.

推论2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合，简称“三线合一”。

推论3：等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°.

9、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即.

逆定理：如果三角形的三边长a、b、c有关系 ，那么这个三角形是直角三角形.

10、三角形中位线定理：三角形两边中点的连线平行于第三边且等于第三边的一半.

逆定理1：在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。

逆定理2：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段是三角形的中位线。

11.内角平分线定理：三角形的内角平分线分对边所得两条线段；这两条线段与这个角的两边成正比.

结论:内心(O)与△ABC的两顶点(A、B)连线段,

12、重心性质定理：三角形的重心到对边中点的距离等于到三角形顶点的距离的一半.

13、射影定理:直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项.

三、三角形面积、勾股定理、正余弦定理