数学：中考第一轮复习—三角形

数学：中考第一轮复习—三角形                                           复习七：三角形

1. 三角形的有关概念，三角形的角平分线、中线、高线、中位线的性质．

2. 等腰三角形、等边三角形、直角三角形的有关性质和判定方法．

3. 全等三角形的性质和判定方法．

 

二、知识要点：

1. 三角形的有关概念

（1）三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形，三角形具有稳定性．

（2）三角形中的三条重要线段：角平分线、中线、高．如下图所示．

（3）三角形三条边的关系：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边．

（4）三角形内、外角的关系：

三角形的内角和等于180°，外角和等于360°．

三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和．

三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．

（5）三角形的中位线：经过三角形两边中点的线段平行于第三边并且等于第三边的一半．

（6）三角形的分类：

按角分类：三角形

2. 全等三角形

（1）能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．

（2）全等三角形的性质：全等三角形的对应边（角）相等；全等三角形的对应线段（角平分线、中线、高）相等，周长相等，面积相等．

（3）两个三角形全等的条件：

一般三角形有：SAS、ASA、AAS、SSS．

直角三角形有：SAS、ASA、AAS、HL．

3. 等腰三角形

（1）等腰三角形的性质：

两底角相等；

顶角的角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合；

等边三角形的各角都相等，并且都等于60°．

（2）判定等腰三角形的条件：

等角对等边；

三个角都相等的三角形是等边三角形；

有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．

4. 直角三角形

（1）直角三角形的性质：

直角三角形两个锐角互余；

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；

（2）勾股定理及其逆定理

定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a²＋b²＝c²．

逆定理：如果三角形的三边长a、b、c有以下关系：a²＋b²＝c²，那么这个三角形是直角三角形．

 

三、重、难点：

本讲重点是三角形的有关概念、特殊三角形的有关性质和判定方法．难点是等腰三角形的判定和性质，以及三角形和四边形的综合问题．

 

四、考点分析：

纵观近几年全国各地的中考试题，三角形常出现的知识点有三角形的性质和概念，三角形内角和与外角和，三角形的三边关系，以及三角形全等的性质与判定．今后的命题趋势仍以考查以上知识点为主，以填空题和选择题为主要考查形式，并将三角形的全等融入平行四边形的证明和计算之中．

 

【典型例题】

例1. 选择题

（1）现有两根木棒，它们的长分别是20cm和30cm，若不改变木棒的长度，要钉成一个三角形木架，则应在下列四根木棒中选取（   ）

A．10cm的木棒              B．20cm的木棒

C．50cm的木棒              D．60cm的木棒

解析：这类试题只需根据“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”就可解决，即设第三根木棒长为xcm．依题意有30－20＜x＜30＋20，即10＜x＜50，满足10＜x＜50的只有B选项．

（2）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别为AC、AB的中点，连DE、CE，则下列结论中不一定正确的是（   ）

A．ED∥BC                  B．ED⊥AC

C．∠ACE＝∠BCE            D．AE＝CE

解析：易知DE为△ABC的中位线，∴DE∥BC，∴ED⊥AC，又∵AD＝CD，∴AE＝CE，故选C．

 

例2. 填空题

（1）如图所示，已知∠1＝100°，∠2＝140°，那么∠3＝__________．

解析：本题可先由两个外角求出两个内角的度数，再根据三角形的内角和来求得∠3的度数．∠3＝60°．

例3. 如图所示，一根长2a的木棍（AB）斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍的中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．

（1）请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，并简述理由；

（2）在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，△AOB的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值．

评析：本题考查直角三角形斜边上的中线与面积两个知识点，能够熟练掌握直角三角形的性质并构建直角三角形模型是解题的关键；问题（1）考虑不到斜

边上的中线为斜边的一半，易认为变化．问题（2）容易想到当OA＝OB时面积最大，但说理时易错，不知道运用当（x－y）²≥0时，可以看作x²＋y²≥2xy，

例4. 已知：如图所示，延长△ABC的各边，使BF＝AC，AE＝CD＝AB，顺次连接D、E、F，得到△DEF为等边三角形．

求证：（1）△AEF≌△CDE；（2）△ABC为等边三角形．

证明：（1）∵BF＝AC，AB＝AE，∴FA＝EC．

∵△DEF是等边三角形，∴EF＝DE．

又∵AE＝CD，∴△AEF≌△CDE．

（2）由（1）知△AEF≌△CDE，∴∠FEA＝∠EDC．

∵∠BCA＝∠EDC＋∠DEC＝∠FEA＋∠DEC＝∠DEF，△DEF是等边三角形，

∴∠DEF＝60°，∴∠BCA＝60°．

同理可证∠BAC＝60°．∴△ABC是等边三角形．

评析：解答此类题目一定要结合图形认真分析题意，选择适当的方法进行证明．

 

例5. 已知：在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，

（1）如图所示，E、F分别是AB、AC上的点，且BE＝AF，求证：△DEF为等腰直角三角形．

（2）若E、F分别为AB、AC延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，那么，△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．

分析：要证明△DEF为等腰直角三角形，需要证DE＝DF，连接AD，利用全等可得这一结论．至于在延长线上，可利用同样的方法．

证明：（1）如图所示，连接AD．

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC的中点，

∴AD⊥BC，BD＝AD．∴∠B＝∠DAC＝45°．

又BE＝AF，∴△BDE≌△ADF（SAS）．

∴ED＝FD，∠BDE＝∠ADF，

∴∠EDF＝∠EDA＋∠ADF＝∠EDA＋∠BDE＝∠BDA＝90°．

∴△DEF为等腰直角三角形．

（2）若E、F分别是AB、CA延长线上的点，如图所示，连接AD．

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC的中点，

∴AD＝BD，AD⊥BC．

∴∠DAC＝∠ABD＝45°．∴∠DAF＝∠DBE＝135°．

又AF＝BE，∴△DAF≌△DBE（SAS）．

∴FD＝ED，∠FDA＝∠EDB，

∴∠EDF＝∠EDB＋∠FDB＝∠FDA＋∠FDB＝∠ADB＝90°．

∴△DEF仍为等腰直角三角形．

评析：构造全等三角形证明线段相等，是本题的突破口，而AD则是本题的生命线．大家可以观察图形具有的特点和辅助线，理解之所以这样做的原因才能提高解题能力．

 

例6. 某小区现有一块等腰直角三角形形状的绿地，腰长为100米，直角顶点为A．

小区物业管委会准备把它分割成面积相等的两块，有如下的分割方法：

方法一：在底边BC上找一点D，连接AD作为分割线；

方法二：在腰AC上找一点D，连接BD作为分割线；

方法三：在腰AB上找一点D，作DE∥BC，交AC于点E，DE作为分割线；

方法四：以顶点A为圆心，AD为半径作弧，交AB于点D，交AC于点E，弧DE作为分割线．

这些分割方法中分割线最短的是哪一个？

评析：在求图中分割线的长度时，主要的已知条件就是分割成的两部分的面积相等，也就是得到的一个规则图形的面积是原等腰直角三角形的面积的一半，求解分割线的长度时，应结合图形用较简便的方法求值．

 

【方法总结】

1. 在利用三角形三边关系判断线段能否构成三角形时，只需验证两条最短边之和是否大于最长的边即可．

2. 有角平分线或中点时，常用到的辅助线

（1）在角的两边截相等的线段，构成全等三角形；

（2）过角平分线上一点向角的两边作垂线；

（3）若有和角平分线垂直的线段时，常把它延长与角的两边相交构造等腰三角形；

（4）有中线或有以线段的中点为端点的线段时，常给它们乘以整数倍，构造全等三角形．