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全等三角形是初中学习非常重要的一部分，月考、期中期末考，还有竞赛都有全等的题目。深入全等，你会发现，全等的辅助线是非常重要的一部分。 三角形中常见辅助线的做法有以下几种： 截长法与补短法。 具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠。 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。 特殊方法： 在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。 1、如图，已知△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°，AB=AE，∠BAE=30°。求证：BE=CE。 思路点拨 看到这样一个图形以及证明的BE=CE，很多同学直接想到找出∠EBC=∠ECB，而题目中给出了大量的角度关系，就想通过计算得出两角相等，但根据目前所学知识，这是无法直接求出的。看到为30°的∠BAE，你是不是想到了上一题出现的60°呢？不妨做个直角试试。 技巧提示 观察图形，字母标号顺次为：A-B-C-E，中间少了D点，这可能是命题者选图时不小心犯下的错误，少了的点，也提醒着你要做辅助线解决此题。 解析： 过A作AD∥BC且AD=BC .连接CD、DE. （如图） ∵△ABC为等腰直角三角形 ∴AB=BC ∴四边形ABCD为正方形 ∴AB=AD，AB=DC， ∠BAD=∠CDA=90° 又∵AB=AE ∴AE=AD 又∵∠DAE=∠BAD-∠BAE=60° ∴△ADE为等边△ ∴AE=DE，∠ADE=60° ∴∠CDE=∠BAE=∠ADC-∠ADE=90°-60°=30° 在△ABE与△DCE中 AB=DC ∠BAE=∠CDE=30° AE=DE ∴△ABE≌△DCE ∴BE=CE 总结：是不是难度更加增大了呢？这道题也利用了一个等边三角形来辅助证明全等。通过两题辅助线作法，概括起来，看到30°想到作直角，看到60°想到作平行线。值得一提的是，这道题中的等腰直角三角形被我们用辅助线把它补成了一个正方形，这种方法叫做补形法，但这种方法常常对于一些特殊图形，这道题我们将一个规则的三角形补出来，主要是利用直角构造60°，从而构造等边三角形。看看这道题的条件，是不是非常的集中呢？然而，我们在证明时，又要把这些条件转换出去，这就是我们在例1所提到的集散思维中的集中思维。有了这样的思维，我们做辅助线就不会盲目。 2、如图，已知AB=CD=1，∠AOC=60°。求证：AC+BD≥1. 思路点拨 解答此题的关键在于如何转换条件。先由证明结论：AC+BD≥1入手，自然考虑将AC、BD放到一个三角形中，再由三角形中“两边之和大于第三边”即可证出结论。而图中又没有与AC相等的线段。又想到有60°这个特殊角，故作平行线解决此问题。 解析： 过B作BE∥AC 且BE=AC.连接CE、DE. （如下图） ∴ACEB为平行四边形 ∴AB=CE且AB∥CE ∴CE=CD=1,∠DCE为等边△. ∴DE=DC=1 在△DEB中， DB+BE＞DE（点拨：D、B、E三点可能共线，故可等于） ∴DB+BE≥DE ∴AC+BD≥1 总结 此题虽然不算是一个全等的题目，但为我们之后的题目做了铺垫——通过这个题目，可以总结出：在证明一些边的关系时，我们可以采用作平行线的方法，并且有可能要构造一个等边三角形。这道题的条件是比较分散的，我们做平行线的主要目的是将它们集中在一个三角形内，这个思维方式我们叫做——分散思维，在初中几何的学习中，集散思维（集中、分散）是一个必不可少的要点。 是不是觉得这样的方法十分巧妙呢？建议再做几道相关辅助线的例题，熟能生巧。 思考练习 1、旋转 如图，三角形ABC是边长为3的等边三角形，三角形BDC是等腰三角形，以D为顶点做一个角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则三角形AMN的周长为？ 2、倍长中线（线段）造全等 如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE. >BE+CF与EF的大小. 3、借助角平分线造全等 如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F. （1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的长. 4、平移变换 如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+AC>AD+AE. 5、截长补短 如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分，求证：∠A+∠C=180 |
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