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埃舍尔最引起人们痴迷的是他那在二维画面上利用错觉、多焦和数学抽象等多种手段将一个个不可能的奇空表现出来。 20世纪初英国哲学家伯特兰·罗素（Bertrand Russell，1872-1970）提出了罗素悖论,简单通俗地说“只给本村那些不给自己刮脸的人刮脸的理发师应不应该给自己刮脸”的悖论，从而引发第三次数学危机并使这座大厦摇摇欲坠。但罗素不只是一个破坏者，也是一个修补者。 他和其老师阿尔佛莱德·怀特海（AlfredNorth Whitehead，1861 - 1947）写出《数学原理》（Principia mathematica）努力维持着这座大厦，著名数学家大卫.希尔伯特（David Hilbert,1862-1943）更是要求数学家们按照罗素他们的定义系统既一致又完备去修建大厦。这就是所谓的希尔伯特纲领。 英国学者罗素、怀特海（在他们之前还有德国数学家弗雷格等）的这一意图在数学界并未得到广泛支持，但是，《数学原理》一书却为形式语言提供了一套非常全面的符号体系，借助于这套符号，所有的数学命题，特别是那些数论命题都可以用一种标准的编码方式来加以表述。这就使得整个数论系统都可以看作是一种未加解释的形式演算系统，它与希尔伯特所设想的一个完全形式化的、抽象掉符号意义的演绎系统简直就是一个东西。并且，在这样构造形式系统的同时，《数学原理》也明确了数学证明所用的大多数形式推理规则。正是以《数学原理》为代表的逻辑主义学派提供的这两个条件，支撑了希尔伯特的一致性的绝对证明。《数学原理》中的形式系统也就自然是实现一致性绝对证明的绝妙范例，这个范例为我们理解“哥德尔证明”准备了条件。因为，哥德尔证明所讨论的形式系统，恰恰指示的就是《数学原理》中的形式系统。 这个梦想被捷克裔数学家、逻辑学家和哲学家库尔特·哥德尔（Kurt Gödel，1906—1978）打破，他彻底摧毁了希尔伯特纲领，他指出，没有一个公理系统可以导出所有的真实命题，除非这个系统是不一致的，即存在着相互矛盾的悖论！ 希尔伯特的元数学纲领，揭开了数学系统一致性绝对证明的序幕。在这个序幕拉开之前，另一个被康德认定为已经到达完备顶峰，再也不可能前进一步的传统学科-这就是逻辑学，它也在产生戏剧性的变化。英国人乔治布尔1847年出版《逻辑的数学分析》一书，原来属于哲学领域的传统逻辑，第一次以纯粹数学的形式形成为一门颇具生长潜力的逻辑代数。 埃舍尔则把著名数学家哥德尔“拯救”的“悖论”图示出来，反映了他深刻的哲学思想力，超人的空间想象力和非凡的艺术表现力。
我们来看一幅埃舍尔早期的作品“静物和街道”（StillLife and Street，1937）。这幅木刻画已经显示出埃舍尔捏合不同空间的能力。 画面画了两个实际空间：屋内的和屋外的。传统的画用个窗口把两个空间分开来，而埃舍尔的这幅画却把窗户革除了，直接用交接物体的双重定义把它们粘到了一起。例如屋里的书本是屋外的建筑物，屋里的那个装扑克牌的容器象是屋外的一个岗亭，而屋里的桌子直接和屋外的街道成为一体。屋里主人公并没有出现，但桌面上的那些书本、纸牌、火柴和烟斗那些静物隐喻着主人平静的生活。然而街道上熙熙攘攘的人群应该是吵闹的，但由于比例的悬殊，反而更衬托了屋里的平静。 埃舍尔通过这幅画表达了同一个元素在不同的空间里的角色是不同的。 “画廊”（Print Gallery，1956）是埃舍尔晚期的作品。同样是屋里屋外，相比于他早期的“静物与街道”，这幅画用了更深奥的理念和和更高超的技艺揉和了创作和现实的一虚一实两个空间。揉合也不是普通的粘合，而是通过数学的连续变换。 这幅看似有点荒诞不经的画作，左侧的观赏者青年，姑且称他为A。A从画廊的一端向右望去，一幅城堡式的巨幅画正挂在他面前，他微仰的头，似乎观赏的就是这幅巨幅画。而巨幅画所在的空间，则可以看作为画廊之中一幅作品的空间，但夸张的画廊支架，又把那幅巨画置于画廊空间之外，构成一个画廊之外的港湾城镇空间。 港湾右侧建筑物中扶着窗台的妇女，仿佛是A的母亲，正从巨幅画面中注视着A。而那作为画廊顶棚的一排廊顶，似乎同时又是一排建筑物屋檐。艾舍尔的《画廊》超越《画手》，在画外观赏者的心中表现出空间错乱的艺术美感。当画面上的人物也作为观赏者来理解的时候，我们看到了如同哥德尔所分析的那种逻辑悖论，以自指为特征的怪圈，在画面中则是以自指为特征的空间。于是，我们在艾舍尔的两幅图画《画手》与《画廊》中，又一次体验了艺术与科学相通的东西。 这幅画从一个在画展的画廊里看画的年轻人开始，他所欣赏的画是一幅人工创作的城市风景画，画里有河，有船，有楼。画中楼房扭曲发展出来，蔓延到画廊外，晃过观众的眼睛，变到了实际的现实空间，最后竟然包括了画展所在的画廊，把看画的人自己也看进了画里！ 但实际上这种超循环在我们循序渐进的日常生活是似乎是很难瞬时实现的，在数学抽象的空间里中，这种变换就是非常规变换，一定会有奇点（即接近奇点处，变化率趋于无穷）。在这幅画中埃舍尔巧妙地利用拓扑变换将房屋围绕奇点变形，越变越大，转一圈后，将后来的环境与开始的环境无缝衔接，然后将奇点用一团白雾遮住，并在上面签了名。 埃舍尔将创作世界和现实世界如此融为一体，反映了他高屋建瓴的世界观。看了这幅画恍然想到我们自己也在看画，这幅画是不是也包含了我们自己？如果是这样，我们所在的宇宙是不是也有这种结构？那么宇宙中的奇点在哪里？不错，当我们去看待客观世界，别忘了我们也身在其中，我们的行为也改变着这个世界，而要认清这个受我们影响的客观世界不是一件容易的事，我们应该意识到其中一定有作为奇点的盲区。在物理中，有“测不准原理”，而在中国古诗中也有“不识庐山真面目，只缘身在此山中”的诗句。这种画中有我，我中有画的意境令人回味无穷。如果苏轼用诗，那么埃舍尔的确用画笔给我们留下了这么一个迷人神奇的奇幻意境。 《瀑布》（Waterfall, 1961）大约是埃舍尔最著名的画之一了。这幅画利用了视觉的错觉，在二维画面上制造了一个三维不可能的奇空。 在这幅画中，作者画了一个水磨坊，水沿着水渠慢慢流，然后到了看来是顶端的水口再倾泻而下，推动磨坊水车，然后再循环。慢着，如果水一直下行，怎么可以循环回到瀑布上口，如果水是慢慢上升，那又怎么可能？不是谁都知道“水往低处流”吗？难不成埃舍尔真的造成了“永动机”？ 再仔细看那个之字形的水渠，才发现上了埃舍尔的当。原来埃舍尔利用了人们太熟悉的水性来诠释不可能空间。那图里面磨轮旁之字形的支撑柱子，从常识判断应该在水行进路线的左侧，埃舍尔却画到了右侧，然后利用水渠边缘下降的墙堰，让读者局部地感到水在下行，但却利用里面错位的柱子，把水口撑到了上方，使之在二维面上实现了一个“永动机”。
这种扭曲的结构就是本质上就是那个数学物理学家彭罗斯（L.S. Penrose）给出的不可能几何体“彭罗斯三角形”，如图示。这是一个在我们三维现实中不可能做出来的形状。为了装得更像，埃舍尔还不忘将辅助细节的功夫做足，右端小屋有个妇人在晾衣服，看来是这个磨坊的女主人，而瀑布下面阳台上的人看来是男主人，他什么也不需要干，可以仰天晒太阳！当然最值得一提的是水渠柱子顶端的两个多面体，左边那个是三个立方体的组合，右边那个就是神秘的被称为埃舍尔体的多面体。这是埃舍尔队几何的特别贡献。
现在占据着人的理智并且在里面已经根深蒂固的各种假象和错误观念，不仅是非常扰乱人心，使真理很难以进来，而且即使进来以后，如果人们事前不提防这种危险，使自己尽量巩固起来抵御它们的进攻，它们就会在科学开始复兴的时候，又找上我们和扰乱我们。（培根《新工具论》1620年） |
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