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★圆的半径：r ★直径：d ★圆周率：π(数值为3.1415926至3.1415927之间……无限不循环小数)，通常采用3.14作为π的值 ★圆面积：S=πr^2或S=π(d/2)^2 ★半圆的面积：S半圆=(πr^2)/2 ★圆环面积： S大圆-S小圆=π(R^2-r^2) (R为大圆半径，r为小圆半径) ★圆的周长：C=2πr或c=πd ★半圆的周长：d πd/2或者d πr ★垂径定理 ★垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 ★进一步结论 ★平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 △特别注意：这两个定理，哪个定律规定弦不是直径。注意选择题陷阱。 ▌1、在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径 圆上各点到定点的距离都等于定长 到定点的距离等于定长的点都在同个平面上 因此，圆心为O、半径为r的圆可以看成所有到定点O距离等于定长r的点的集合 ▌2、弧、弦、圆心角 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆 弦：连接圆上任意两点的线段，叫做弦。经过圆心的弦，叫做直径 圆心角：顶点在圆心的角 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴 圆是中心对称图形，圆心O是它的对称中心 ▌3、圆周角 顶点在圆上，并且两边都圆相交的角叫做圆周角。 ▌4、圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半 推论： 半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90度的圆周角所对应的弦是直径。 推论： 圆的内接四边形对角之和为180度 注意：对内接四边形的判定，必须4个顶点都在圆上。 ▌5、点和圆的位置关系 点P在圆内 d点P在圆上 d=r 点P在圆外 d>r ▌6、不在同一直线上的三个点确定一个圆 注意：不在同一直线这一要点 经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆 外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫作这个三角形的外心 特殊的：直角△的外心在斜边上的中点。 一般求△外心的题往往是直角△或者等腰△，等腰△请结合垂径定理和勾股定理 ▌7、直线和圆的位置关系 直线l和圆O相交(有两个公共点) d直线l和圆O相切(有一个公共点) d=r 直线为切线，点为切点 直线l和圆O相离(没有公共点) d>r ▌8、切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 在灵活运用该定理的同时，切莫忘记第三大点中的判定方法!(往往在出现角平分线、等腰三角形的场所，我们需要用到此方法去判定相切) ▌9、切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径 这两个定理的运用：前者是不清楚直线与圆的关系，进行判断。后者是已知直线与圆相切，进行性质分析。 ▌10、切线长定理 经过圆外一点作过圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫作这点到圆的切线长 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。这个定理叫作切线长定理。 ▌11、三角形的的内心 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 内切圆的圆心是三角形三条角一部分线的交点，叫作三角形的内心。 注意内心外心的区别和应用。三角形的内心必然在△内部，外心则有可能在外部 内切圆半径的计算方法 三角形面积=内切圆半径*三角形周长/2 例题(2011广东南塘二模)Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，内切圆半径= ; ▌12、点和圆的位置关系 点P在圆内 d点P在圆上 d=r 点P在圆外 d>r ▌13、三个相等： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 在同圆或等圆中，如果两两弧相等，那么它们所对应的圆心角相等，所对的弦相等。 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对应的圆心角相等，所对的弧相等。 ▌14、直线和圆的位置关系 直线与圆相交(两个交点) d直线与圆相切(一个交点) d=r 直线与圆相离(没有交点) d>r ▌15、圆和圆的位置关系 圆与圆相交(两个交点) R-r圆与圆相切(一个交点) d= R-r(内切)d= R r(外切) 圆与圆外离(没有交点) d> R r 圆与圆内含(没有交点) d 还一种最特殊情况，同心圆 d=0 注意：相切一定要看清楚，是内切还是外切，还是两种都可能 学生可尝试画一个数轴区域示意图 ▌16、对圆而言，请注重其对称性 相切的两个圆，不论内切外切，显然，切点和两个圆心应该在同一直线上。 ▌17、扇形的弧长及面积 扇形：由两条半径及两条半径组成的角对应的弧形成的图形 扇形弧长： 注意区别弧长与周长 扇形面积 弧长及面积的关系 ▌18、正多边形 正多边形：各边长相等，各顶角相等的多边形 我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心 外接圆的半径叫做正多边形的半径 正多边形的每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角 中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距 正多边形的计算：遵循每条边所对应的圆心角的度数为360/n即可，利用垂径定理，等腰三角形进行解答。 ▌19、圆锥的侧面积和全面积 圆锥是由一个底面和一个侧面围成的 我们把连接圆锥顶点和底边圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线 圆锥的侧面展开图是一个扇形。设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为 ，因此圆锥的侧面积为 ，圆锥的全面积为 圆锥侧面展开扇形的中心角可通过此扇形的弧长及半径，进行计算 ▌20、把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转。 点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。 如果图形上的P经过旋转变为点P’，那么这两个点叫做这个旋转的对应点 把一个图形绕着某一个点旋转180度 如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。 ------------- 想在考试中出类拔萃、脱颖而出吗？ |
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★圆知识点汇总
