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作者：著名数学家，美国纽约州立大学石溪分校教授 2018年的春节倏忽而至，却又飘然而去。纽约唐人街头，洪门醒狮队喧嚣热闹了几天后，一切归于平静。长岛深处，时而寒风彻骨，怒涛奔流；时而浓雾弥漫，怅惘寂寥。 依循惯例，老顾给诸位恩师拜年，和大学本科的班主任黄连生老师用微信语音畅谈了许久，抚今追昔，心潮澎湃。黄老师年近八旬，带着上海口音的普通话依然清朗悦耳。黄老师一句 “险峰，看到你在电视上，一点都没变！”，令老顾情难自禁，潸然泪下。 人生如白驹过隙，跌宕起伏，沧桑阅尽，转眼间距入学已近三十年。中年之后，经常在深夜惊醒，辗转反侧，备受煎熬。在漫漫长夜中，惶恐惊惧，忧愁缠身，无法分清现实和梦魇。在剖析灵魂的时候，经常扪心自问：过去三十年的人生是否真正值得，未来人生的终极目的在哪里？在青葱少年时思考这些问题是出于对人生未知的迷惘，多少有些虚荣和矫情；在中年危机之后再追问这些问题，却是无比的真诚而严峻。 往事如昨，历历在目。1989年，黄老师在录取生中精心挑选了17个数学上具有潜质的学生，组建了清华计算机系的理论班并亲自担任班主任。那时的老顾来自穷乡僻壤，知识贫乏，视野狭隘，除却踏实刻苦，一无所长，不知为何有幸被黄老师选中，实在无比幸运。黄老师当时预见到计算机技术必将爆炸式发展而颠覆人类社会，相应地会对数学应用提出非常高的要求，因此需要培养数学和计算机相结合的人才。为此理论教研组为理论班精心设置了课程：同时学习数学系和计算机系几乎所有的基础课程。由陈天权老师教数学分析，许以超老师教高等代数，卢开澄老师教伽罗华理论，戴一奇老师教抽象代数，黄老师教计算复杂性理论，形式语言图灵机理论，组合优化等。 由于同时学习数学系和计算机系课程，理论班的学习任务相对繁重。另外，清华学生都是天之骄子，班内同学多是奥赛冠军、省市状元，因此竞争非常激烈。当时陈天权老师在国内首次采用莫斯科大学数学系的卓里齐教程，所有的章节都是手刻油印。这部教程立意很高，直接用现代数学中布尔巴基学派的观点，公理化的体系阐述铺陈。苏联高中的数学教育远超中国水准，当时大家学得非常艰苦。很快17名同学中有四人转学，其他同学也倾向于认为身为计算机科学专业学生，没有必要学习太多的纯粹数学，因而多有消极抵触情绪。数学分析辅导课上，有些大胆的学生直接质问陈老师，何必自讨苦吃地学习那些不知所云、又不知有何用的理论。陈老师的回答直接了当：“年轻时尽量多学数学，越多越好，越难越好！”那时黄老师也经常安抚大家，苦口婆心地劝慰大家坚持下去。历经三十年的风霜雪雨，老顾愈发体会了黄老师和理论组的良苦用心。“三十年后，你是班里唯一硕果仅存、还在做数学的学生。”微信语音中，黄老师半开着玩笑。 诗和远方 数学和计算机科学的汪洋大海，同时在老顾面前展现开来，同样的波澜壮阔，同样的波涛汹涌。老顾深深体会到这两个领域天壤之别的价值观念和风格特点。计算机科学技能需要大量的实践和积累，经年累月的刻苦磨炼；现代数学需要高度抽象的思维，和持久深刻的思考以达到顿悟。记忆比较深刻的是第一学期，我们计算机课程中的核心概念之一是“递归”，用于求解八皇后等问题，理解起来有些难度，工程实现需要经验积累。数学分析用了三个月讲解“实数理论”，用严格的公理化方法来构建实数，特别是戴德金分割和康托尔完备化方法。这套理论的意义和方法，我们当时都无法理解。数年之后，老顾才慢慢体会到这个理论的深意。首先，17世纪牛顿和莱布尼兹发明了微积分，引发了科学的深刻变革，但是微积分的基本概念例如极限、连续等却长期含混不清，直到19世纪，康托尔的实数完备化理论才严密化了数学分析的基础。恰如今日的量子力学，引发了科学技术的彻底革命，但是对其理解依然没有达到令人满意的程度；又如深度学习，摧枯拉朽般横扫了几乎计算机科学的所有领域，但是其理论基础却模糊混乱，似是而非。真正严格理论的建立，可能需要数代科学家持之以恒的艰辛努力。从更为深远的角度来看，整个偏微分方程、泛函分析是建立在索伯列夫空间理论基础之上的，索伯列夫空间的构建和康托尔完备化如出一辙，都是在经典函数空间中定义柯西列，将柯西列的等价类作为新的点添加进去，如此索伯列夫空间对函数序列求极限的运算封闭，变分法得以施展。更为深刻之处在于希尔伯特和哥德尔之争。希尔伯特的终极目的是用公理化的方法统一数学，哥德尔后来证明任何包含算术公理的系统，都存在一个命题，其真和伪都和现存公理系统相容。实数的完备性就是这样一个命题，这引发了数学思想史上的一次深重的哲学危机。对于大学一年级的少年，自然无法参透如此深刻的理论，但是这次思想的洗礼却使我们受益终生。 当时，最为令人难以接受的是数学的高度抽象性，拓扑课上老师提到道路连通空间的万有覆盖空间的“直观解释”：“从定点出发的所有道路同伦类构成的空间”，这令大家百思不得其解。但是后来学习了卢开澄老师的伽罗华理论，使得老顾彻底转变了当初的偏见。本来的目的是为高次代数方程寻找求根公式，伽罗华考虑将有理数域上添加根之后得到的扩张域，这已经是一级抽象；然后再考虑扩张域到自身保持有理数域不变的所有自同构构成的群，即所谓的伽罗华群，这是二级抽象。那么方程求根公式的存在性等价于伽罗华群具有特殊的结构，即可分解成一系列正规子群，每级商群都是循环群。这样通过伽罗华群的结构推知通用求根公式的不存在性，从而解决了数千年的难题。这个例子使人体会到抽象性极大地提高了普适性，从而看问题更为本质。数年后，老顾到哈佛求学，图灵奖得主Rabin教授讲解他的主要工作，证明因数分解的概率多项式解法，本质上是基于有限域理论，这令老顾体会到抽象数学在计算机科学中的重要作用。 二向箔。 当时陈天权老师讲解流形上拓扑结构和光滑结构的本质区别时，提到了米尔诺构造的7维怪球。多少年后，老顾来到石溪求职，在求职演讲中米尔诺亲自到场并且问了几个深刻的问题。陈老师介绍了处处连续、却又处处不可微的皮亚诺曲线理论，这种曲线虽然是一维的，但却能够填满二维正方形，换言之，二维空间能够降维到一维曲线上。当时老顾被这种充满想象力的构造深深震撼。多少年后，大刘在《三体》使用了这一桥段：歌者文明中的一个地位卑微的员工，随手向太阳系扔出了一片二向箔， 三维的太阳系塌缩进入二向箔，从而彻底终结了人类文明。高晓松学长说当他读到这段降维攻击时，惊讶地从床上站立起来（或者是颤栗起来）。由此推断，高学长在清华没有用心学过数学分析。清华学堂的古老书案或许是高学长眼前的苟且，但的确是老顾同学们的诗和远方，正是从这里老顾和同学们开始启航。 星辰和大海 在大学二年级的时候，由于时间冲突，我们理论班错过了数学系的复分析课程，也错过了计算机系的复变函数课程。黄老师鼓励大家自学，并且告诉大家关键是掌握柯西积分公式。当时老顾囫囵吞枣地学习了一遍，觉得大多数定理的证明直观浅显。复变函数论中有一条初等的刘维尔定理：复平面上有界全纯函数必为常数，换言之拓扑单位圆盘和全平面拓扑等价但是共形不等价。老顾当时看后没有觉察出什么深意。后来得知当年丘成桐先生看到这条平凡的定理时就开始深入思考其背后的奥义，最后他意识到圆盘上可以配上双曲黎曼度量，平面可以配上欧氏平直度量，正是这种内蕴几何的差别使得调和函数的整体性状发生根本改变。由此丘先生发明了独步天下的“梯度估计”方法，成为几何分析学派的发轫。丘先生的创造令人心生敬畏，高山仰止。这使得老顾看到数学伟人和常人的差别，常人很难洞察自然的深层结构，伟人却可以看穿表面，直至核心。 复分析到曲面的推广是黎曼面理论，黎曼面理论是复分析、代数曲线和微分几何的交汇之处。亏格为1的黎曼面在复射影空间中的全纯嵌入是椭圆曲线。黄老师曾经给过老顾一本《椭圆曲线加密》，本质上是说椭圆曲线和直线有3个交点，因此可以定义第三个点是前两个点的和，如此得到一个加法群。如果用有限域上的椭圆曲线，则曲线上的点构成有限群，我们用这个群上的算数构造单向函数，实现加密算法。当时老顾没有看出椭圆曲线理论的深度。几年后，老顾在哈佛求学期间惊闻Andrew Wiles用椭圆曲线理论证明了费马大定理，这使得老顾非常敬佩黄老师当年的眼力。谁知，从去年开始，区块链技术发展得如火如荼，甚至被视作颠覆性的技术革命，而区块链的技术基石正是椭圆曲线加密。这使得老顾愈发觉得黄老师洞见未来的惊人能力。 最优传输映射。 大三的时候，黄老师教授大家线性规划。线性规划是凸区域上的线性函数求极值，几何图景比较简单，因此老顾当时没有重视，做的作业很潦草。黄老师却批改得非常耐心细致， 令老顾汗颜。几年后老顾在哈佛跟随丘先生学习孟日-安培方程理论，才理解这一问题的历史背景。蒙日首先提出了最优传输问题，数百年后康塔洛维奇为解决这一问题而提出了线性规划方法，在特定情形下，最优传输问题由蒙日-安培方程来刻画，而蒙日-安培方程又和凸几何中的闵可夫斯基问题等价。这几年，深度学习中的对抗生成网络（GAN）如日中天，对抗生成网络中的判别器本质上是在计算两个概率测度之间的距离，生成器本质上是在计算两个概率测度之间的最优传输映射。由此，对抗生成网络的基础可以归结为最优传输理论。这使得老顾认识到深刻的数学会一次次重回历史舞台的中心。 样条曲面。 有一次陈省身先生访问清华，特地为数学系和理论班做了报告。陈先生介绍了全局微分几何，特别是陈类，并且批评清华没有教授代数拓扑。黄老师鼓励大家自学代数拓扑。陈天权老师也为大家详细讲解了de Rham上同调理论。当时老顾自学了江泽涵先生的《不动点类理论》和代数拓扑教程，初步理解了上同调理论的精神实质：“数学结构全局存在性的拓扑障碍”。后来，老顾在秦宏教授的带领下进入计算机辅助设计CAD领域。整个机械制造业都是用机床来加工金属器件，为了控制车刀的加速度和力量，设计的曲面必须是处处二阶可导。因此，将各种曲面形状用处处二阶可导的分片多项式（所谓的样条曲面）来表示是CAD领域最为根本的问题，但却长达数十年悬而未决。当时，在平面区域的三角剖分上建立样条曲面相对成熟，但在拓扑复杂曲面上却无法实现。我们的学生工程能力凶悍勇猛，数年久攻不克。秦教授和老顾意识到，局部样条曲面建立没有问题，却又无法推广到全局，这正是全局存在性遇到拓扑障碍。通过仔细研究经典样条理论，我们发现经典样条是建筑在仿射几何不变量上的，而一般曲面不存在仿射结构，从而创立了“流形样条理论”，解答了CAD领域的这一基本问题。 参数化。 在老顾读博士期间，计算机图形学迅猛发展，特别是GPU的出现彻底革命了这一领域。GPU的出现催生了一个技术：曲面参数化。计算机游戏中，各种三维模型的形状用离散曲面来表示，服装妆容用二维纹理图像来表示，将纹理图像贴到曲面上的映射被称为是参数化。参数化的主要标准是尽量减小形状畸变和减少纹理碎片。当时几乎所有参数化算法都是局部的，作为陈省身学派的学子，老顾觉得应该发展全局方法。在丘成桐先生的指导下，我们提出了基于黎曼面上的全纯微分1-形式的全局共形参数化方法。当时丘先生告诉老顾应该追求全纯二次微分的算法。 在丘先生的带领下，老顾和朋友们进入了医学图像的领域。老顾发现这一领域的根本问题是求曲面间的映射，或者更为严密的：在曲面间映射的微分同胚空间中建立变分法。这和拟共形映射Teichmuller空间理论紧密相连。所谓Teichmuller映射是指曲面间映射畸变最小者。老顾和朋友们历经数年，尝试了多种方法，终于发明了基于调和映照的计算Teichmuller映射的方法，并将其用于多种疾病的诊断。特别用于大脑皮层的神经疾病研究和直肠癌的诊断。Teichmuller映射和全纯二次微分具有深刻而本质的内在联系。 Teichmuller空间是所有拓扑相同的黎曼面构成的空间，也可以视作是所有双曲度量构成的空间。曲面的一个自映射，就诱导了Teichmuller空间的自映射。由此，Thurston发展了曲面映射的分类理论。用Teichmuller映射理论来推导Thurston的理论相对直接简洁。但是，Thurston发展他的理论的时候，他并没有系统地学习Teichmuller理论，甚至全纯二次微分和曲面叶状结构之间的关系也不甚了了。但是他以其原始的独创性，只手擎天地发展了关键的概念和全套理论，甚至至关重要的概念的灵感来自于他童年的玩具-模型火车。这再度让老顾看到了一个数学天才惊人的创造力，可以在不借助任何前人经验的基础上拔地而起，独自创造出宏伟的殿堂。 叶状结构。 近些年来，在计算机辅助制造CAE领域有一个新兴领域异军突起：等几何分析。多年前，这一领域的创始人Tom Hughes教授曾经找到老顾，介绍了等几何分析的核心思想。他说在波音公司，大型飞机的设计采用样条，但是模拟采用有限元方法。设计一台大型飞机的60-70%的计算时间都是将样条转换成网格，目的是为了用有限元方法来模拟飞机的机械性能、空气动力学性能。Hughes教授希望用样条来同时进行设计和模拟，以减少计算成本。但是等几何分析依赖于将实体转换成样条的技术，这一技术依赖于解决将实体进行规则六面体剖分的问题，而这一问题是网格生成领域的核心问题之一，历史上被称作神圣网格问题（holy grid problem）。经过长年摸索，老顾和朋友们意识到如果神圣网格存在，那么它必然在边界上诱导两族叶状结构，而所有的叶状结构都和全纯二次微分等价。因此，无论如何，寻找全纯二次微分的算法成为必须攻克的问题。我们尝试了数种理论，终于用丘先生的弟子Schoen发明的广义调和映照方法解决了这一问题。 全局观念 现在蓦然回首，感慨万千。我发现学术生涯的大半轨迹实际上是依照黄老师三十年前的规划进行的：将数学和计算机科学深度结合。 数十年后回顾本科接受的教育，老顾觉得纯粹数学是极其重要的，对于我们今天的科研而言不可或缺。数学是认识自然的利器，核心是研究自然界的各种结构，以及这些结构之间的关系。其深度和广度超越其他科目，其浩瀚汪洋的知识体系无法自学，其深刻程度无法进行碎片化学习，在正规的大学中进行严格训练是唯一的途径。例如，坚持收听逻辑思维，无法习得代数拓扑。反之，计算机科学的绝大多数内容可以自学，或者进行碎片化进修，但是同样需要大量实践的磨炼，关键时刻需要悟性。 莫斯科大学的教程高屋建瓴，视野开阔，博大沉厚。它致力于为学生编织一张硕大无朋的数学知识网络，每一个节点学生不见得有精力研习透彻，但是学生会建立整体的全局观，然后在未来的科研中逐步修补加强网络中的联结，深化对节点的理解。这对于没有人生经验的学生而言，自然是苦不堪言，但是从长远来看，意义非凡。我们在不会计算面积分之前就学习了de Rham上同调，我们在不懂解析函数之前就学习层论，我们在学习吴文俊方法之前就知道了希尔伯特的理想有限生成定理。这些概念和定理的深刻程度很难当时被少年们所领悟和接受，但是多年之后，这些深刻的数学概念成为解决某一领域核心问题的关键。 从数学哲学观点来看，自然界的结构独立于人类文明，和人类的工程实践、政治经济活动无关。人类在改造自然的过程中不可避免地要遇到这些数学结构，对于这些数学结构的深入了解必然会促进计算机科学的进步。老顾从清华毕业的时候已经形成自己的观念：自然界的实体都是三维的，实体的表面都是二维曲面，所有涉及到几何形状的工程医疗领域都必然会涉及到曲面的自然结构。那么，曲面的数学结构又有哪些呢？自然是拓扑结构、共形结构、黎曼度量结构和等距嵌入结构。每个结构都有不同的理论体系和研究工具。对于曲面分类、曲面映射和形状分析而言，最为普适的结构是共形结构。这些拓扑几何结构经过人类数千年的积累，已经看得相对清楚，但是三十年前，对于计算机科学而言，这些结构的计算方法完全是空白。用计算机算法来表述和处理这些拓扑几何结构，应该是我们理论班当仁不让的历史责任。这些结构是极度稀缺的资源，任何一个基本结构被转化成算法，后人就无从置喙了。从另一个角度而言，这些拓扑几何结构是大自然的一部分，用算法来体悟自然，这是天人合一的一种现代模式。个人意志和宇宙精神融合，超脱尘世的评价体系，才华体会心性出世的绝对自由。 老顾和朋友们开始了漫长而艰辛的探索，将这些结构中的关键概念和定理逐渐转化成数据结构和计算方法，然后再将这些计算方法转化成工程、医疗应用。我们系统地发展了各种算法，用于计算拓扑中的同伦群、上下同调群、同伦检测；共形几何中的黎曼映照，共形模，典范共形映射，Teichmuller坐标，拟共形映射，Teichmuller映射等；黎曼几何中的黎奇流方法，通过高斯曲率来构造黎曼度量等。这些算法所揭示的几何结构具有很强的普适性，所以可以直接应用于计算机图形学，计算机视觉，几何建模，网络，医学图像，计算力学等很多领域。 由于有大局观，我们可以清晰地看出计算机科学和数学发展的历史脉络，了解哪些自然结构数学上已经理清，哪些数学上依然未知；哪些数学已知的结构存在算法，哪些依然不可计算；可以计算的结构中哪些已经被工程学术界采用，哪些需要被主动引进；学术界广为采用的计算方法中哪些工业界已经采用，哪些依然没有进入社会实践之中。在工程界，经常有各种各样的技术浪潮。大潮袭来，山呼海啸，泥沙俱下，席卷一切。近些年来，依随媒体的催波助澜，特别是资本的大举进入，很难令人分辨泡沫和实质。商业思维中的借助风口，借助局势，更加令年轻人难以把持。但是，如果考察技术浪潮中的不变量：哪些数学结构以前无法计算，现在可以算出，就可以使人避免浮躁，冷静思考。 我们的研究手法是首先透彻理解几何结构的数学理论，然后考察现存的离散化方法例如有限元方法是否可以直接逼近求解，如果不能，直接建立离散流形上的理论，再证明连续理论是离散理论的渐进极限。这种研究方法和典型的工程方法大相径庭，非常艰辛而低效。黄老师说：“依照工程方面的价值观念而言，这种研究方法是性能价格比最低的一种方法。”首先，对于理论的透彻理解是非常费时费力，经年累月；同时经典数学中的许多关键概念和定理只有存在性的描述，缺失构造性方法，构造性方法的提出实际给出了新的证明方法，例如以前Alexandroff问题解的存在性只有代数拓扑的证明，我们用变分法给出了构造性证明，并且由此构造最优传输映射的算法。计算机科学非常注重实用价值，对于理论严密性的要求相对不高，对于数学而言，严密性是最起码要求。但另一方面，计算机科学对于计算的鲁棒性、误差可控性、计算复杂度要求较高，纯粹数学对此并不非常关注。比如，球面背景几何的黎奇流虽然理论上存在解，但是因为黎奇能量非凸，计算稳定性较差，在实践中无法直接采用，需要另辟蹊径。 理想主义的代价 这种以理想主义的方式进行科研实际上远离主流价值观念，很多时候自讨苦吃。我们团队一年可以写几十篇工程类的论文，但只能花五六年写一篇纯粹数学方面的论文。一篇工程类的文章的引用数目很容易达到数百，一般纯理论的文章很难超出个位数。例如，我们的离散黎奇流方面的工作，建立算法花费了两年左右，建立理论并完成证明花了七八年。如此算来，何苦不计成本、不计代价的进行理论工作呢？黄连生老师三十年前就曾经告诫过理论班的同学“做数学必须要坐冷板凳，深入理解一套理论没有多年的坚持是不可能的；要甘于清贫，做出了数学定理也不会比做出产品更加富有，注定穷困；要不求闻达，数学上的真正突破非常困难，绝大多数的数学家必将默默无闻。” 单值化定理。 这一切都是为了追求恒久价值。自然结构独立于人类文明，作为人类个体的一员，如果一生能够有幸发现一个前人没有发现的结构，洞察到一道没人看到过的风景，生命价值就已经足够体现。大量的学术工作会被时间涤荡，湮没在历史的尘埃之中，只有最为深刻精粹的成果才会被历史所承认。而这正是学者生命的终极意义。大自然也是慷慨的，在追寻这一终极意义的旅途中，虔诚的学者总会体悟到自然的壮美。例如，老顾最为钟爱的单值化定理：大千世界，各种形状纷繁芜杂，变幻莫测，但却都可以共形变换成三种标准空间，球面、平面和双曲圆盘。如此简单和谐，如此深邃缥缈，如诗如歌，如风如电。为此老顾耗费了十数年的生命，亦无怨亦无悔。 有人说，爱一个人就是将伤害你自己的权力交给对方。人世间，有谁不是活得精疲力竭，伤痕累累，有谁不是为情所困，为爱所苦？数学家为了数学何尝不是如此？有几人达到过丘成桐先生、瑟斯顿的境界，洞悉天地玄机，彪炳历史长河。但大家依然飞蛾扑火，痴情终生，一心一意，九死不悔。黄连生老师说这一切都是为了“美，无法向外人倾诉、深刻的美”！ |
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