2017中环杯6年初赛给的答案竞用初中知识！看如何用小学知识巧解

上一讲讲了循环问题的一些应用，相信大家应该对循环问题十分了解了，今天，黄老师找了一个2017年中环杯6年级初赛试题，把循环问题进一步讲解一下。

此题是2017年10月14日考试的2017年中环杯6年级初赛第11题，题目如下：

好，给大家一定的思考时间，考虑一下此题如何解。

如果此题是求最末一位数是多少，那么很简单，一定是5，因为求最末一位，只需看末位相乘即可，5除0以外的任何次方，尾数均为5；

但此题求的是末三位，我们看看官方给的答案是如何解的：

此题解法给的有点问题，不是很好理解，黄老师稍讲解一下，并在下面给出更好理解的方法。

首先，解法里说“2015是5的倍数，那么2015^2017一定是5^3的倍数”，这个是用到了初中的同底数幂识，对小学生来说，还没有学到，知识点如下：

根据上面的公式：a^m×a^n=a^(m+n)，可得：5^3×5^2014=5^(3+2014)=5^2017；

还有一个知识点，学过奥数的同学可能有些了解：(a+b)^n=a^n+b^n，

又因为2015^2017=(5×403)^2017=5^2017×403^2017，所以，推出2015^2017一定是5^3的倍数。

其次，为什么要研究除以8的余数呢？而不是除以3、4、5等其他的数呢？

我们先看这四个数除以8的余数到底是什么

125÷8=15……5

375÷8=46……7

625÷8=78……1

875÷8=109……3

上面四个数除以8所得的余数各不相同，也就是说，只要能判断余数，就可以判断这个尾数了。

但这个8出来的还是比较生硬，好像是先知道余数不同，然后再找出的除以8。

再者，为什么2015^2017除以8的余数与7^2017除以8的余数相同？

这里有个同余的概念，虽然学校里不学，但小学奥数是认为要学的。

这个涉及到同余定理，该定理较为复杂，简单总结如下：

1. 给定一个正整数m，如果两个整数a和b满足a-b能够被m整除，即(a-b)/m得到一个整数，那么就称整数a与b对模m同余，记作a≡b(mod m)；（定义）

2. 对于同一个除数，两个数之和（或差）与它们的余数之和（或差）同余；

3. 对于同一个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余；

4. 对于同一个除数，如果有两个整数同余，那么它们的差就一定能被这个除数整除；（如果a≡b(mod m)，则(a-b)|m）

5. 对于同一个除数，如果两个数同余，那么他们的乘方仍然同余。 （如a≡b(mod m)，则a^n≡b^n(mod m))
   

所以，利用上面第2个性质：

2015^2017=（2008+7）^2017=（8×250+7）^2017

(8×250)^2017除以8的余数为0，所以：

(8×250+7)^2017≡7^2017(mod 8)

后面的计算步骤均可按上面的性质来解。

总结：总体来说，正确答案中给出的解题方法对开小学生是无比的困难，知识点虽然有些超纲，但有一些学习过奥数的同学可能也有所了解，但这块知识点有点复杂，就算有所了解，可能也无法解出此题。

黄老师按循环的思路给出此题的另一种简单解法：

上面说过：

如果此题是求最末一位数是多少，那么很简单，一定是5，因为求最末一位，只需看末位相乘即可，5除0以外的任何次方，尾数均为5，即尾数5一直循环下去；

那么最末两位，最末三位，甚至最末4位是否也是像末位一样循环呢？我们计算如下：

先看如果此题是求最末两位数是多少呢？

那么我们就需要看2015的未两位数字（为何？各位，列个乘法的竖式就明白了）的2017次方了：

15^1的后三位尾数=015；

15^2的后三位尾数=225

15^3的后三位尾数=375

15^4的后三位尾数=625

15^5的后三位尾数=375

15^6的后三位尾数=625

……

发现除了1次方和2次方外，都是375和625循环，且奇次方尾数为375，偶次方尾数为625，所以2017次方的末两位尾数应该是75。

那么，按此题要求，末三位数是多少呢？我们要看2015的未三位数字的2017次方了，发现2015的末三位数字跟末两位数字数值上均是15，所以计算结果应同末两位的结果，即375。

此题此种解法充分利用了循环的特性，把复杂的同余问题转化为循环问题，所以，奥数学习不能死记硬背，条条大路通罗马，换个思路，柳暗花明。