均值不等式的应用

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均值不等式的应用

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文 | 高中数学解题研究会

2.1

均值不等式在证明不等式中的应用

一般不等式的证明,常常考虑比较法,综合法,分析法,这是高中比较常用的方法,但有些不等式运用上述方法不好入手,故考虑均值不等式或者均值不等式与综合法相结合,这样处理,常常使复杂问题简单化,从而达到证明的目的.下面举几个例子予以说明.

2.2

均值不等式在比较大小问题中的应用

比较大小问题是高中数学中常见的问题，准确巧妙地运用均值不等式是快速解决这类问题的关键.

2.3

均值不等式在求最值问题中的应用

均值不等式在求函数最值,解决一些取值范围问题时运用非常广泛,是重要知识点之一.在实际应用问题中,我们应因题而宜地进行变换,并注意等号成立的条件,达到解题的目的,变换题目所给函数的形式,利用熟悉知识求解是常用的解题技巧,熟练运用该技巧,对于提高思维的灵活性和严密性大有益处.

2.3.1

均值不等式求最值时常见错误

运用均值不等式解题是一项重要内容，运用这种方法有三个条件:(1)正;(2)定;(3)相等。在此运用过程中，往往需要对相关对象进行适当地放大、缩小，或不等式之间进行传递等变形。在此过程中，学生常常因为忽视条件成立而导致错误，而且错误不易察觉。因此，就这一问题列举几个例子进行说明。

2.3.2

均值不等式求最值“失效”时的对策

运用均值不等式是求最值的一种常用方法，但由于其约束条件苛刻，在使用时往往顾此失彼，从而导致均值不等式“失效”。下面例说几种常用的处理策略。

2.4

均值不等式在证明极限的存在性时的应用

极限概念是高等数学中的重要概念，在证明数列极限的存在性时，需证明数列单调及数列有界。而在此过程中便运用了均值不等式的相关内容。下面举例说明。