数学思想方法：“数形结合”、“方程、函数”数学思想（二）

四、数形结合数学思想：

在问题解决中，把数量关系的精确刻画与空间形式的形象直观密切结合，调用代数与几何的双面工具，揭露问题的深层结构，达到解题的目的，这就是数形结合思想。

例题5：

例题5题干（1）

（1）求点 B 的坐标；

（2）求直线 BN 的解析式；

（3）将直线 BN 以每秒一个单位长度的速度沿 y 轴向下平移，求直线 BN 扫过矩形 AOCB 的面积 S 关于运动时间 t （0 ＜t ≤ 13）的函数关系式。

解：

例题5解答过程（2）

例题5解答过程（3）

总结：数学结合分为“以数解形”（几何问题代数化），“以形解数”（代数问题几何化），“数形互解”三种策略。

构建数与形的对应关系是数学结合的关键工具。

常用的工具有：建立坐标系；利用函数的图像；给出图形的代数表达形式等。

五、方程、函数数学思想：

把数学问题尽可能化为函数与方程来解决！它的基本观点是：运动、变化的观点，变量相对的观点。在这些观点的指导下：尽可能利用方程来解题；以函数为纲；以不等式为工具。

例题6：某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如下图：

例题6题干（4）

已知用 600 元购进的餐桌数量与用 160 元购进的餐椅数量相同。

（1）求表中 a 的值；

（2）第2、3问如下图：

例题6题干（5）

解题分析：

（1）通过列方程可以求出 a 的值。

（2）先求利润与餐桌之间函数关系式，在求餐桌数的取值范围，由函数的性质求出利润的最大值。

（3）列方程可解得。

解题过程：

例题6解题过程（6）

例题6解题过程（7）

例题6解题过程（8）

总结：

（1）用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程（组）。

这种思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用。

（2）在问题中涉及“最大值”或“最小值”时，一般要运用函数思想去解决问题，而解决这类问题的关键是建立两个 变量之间的函数关系式。