如何直观地理解群论？

群的凯莱图

群论不简单么？一个集合和一个二元运算，并且满足群论四大公理。黑纸白字，没有一个符号、一个汉字是我不认识的。经过这么多年的数学训练，加上刷题，那是想证明就证明、想计算就计算，砍瓜切菜、手起刀落、猛虎下山、势如破竹。

但是！我很不爽，这种感觉好比有人叫你去砍人，你也不问问为什么，一言不合就出手把人砍翻在地，或者被人砍翻在地，这种行为我们一般把它成为脑残，你的身份就是别人的小弟。

我们不要做数学的小弟，刷题不能给我们自由，唯有思考可以。

下面就讲一下我对群论的一些思考。

1 集合

讲群论先从集合讲起，集合简单来说就是把一堆东西放在一起（暂时就别提罗素悖论了）：

可是这用处不大啊，东西之间得有相互作用才能更好的描述世界啊：

东西我们把它称之为对象，对象之间的互相作用我们称之为操作或者运算。

自然数  是一个集合，我们从自然数  这个集合出发，通过运算可以创造越来越大的集合(  、  、  、  、  分别是自然数、整数、有理数、实数、复数)：

运算不止加减乘除，数学学到后面就多了很多抽象运算。甚至从集合和运算的角度来看，学数学的过程很多时候就是在不断的扩大对集合和运算的认知。理解的集合和运算越多，相关领域的数学基本上也就理解了。

其中有种特殊的集合+运算就是群。

2 群

简单来说，群的作用是描述对称。

2.1 什么叫对称？

我们来看看：

• 正方形对称吗?

• 物理定律对称吗？

• 多项式的根对称吗？

上面的问题的答案都是：对称！

对称就是：“某种操作下的不变性”，关键字是两个：“操作”和“不变性”，要说明这点让我们通过上面的三个问题来理解。

2.1.1 正方形是否对称？

先看看正方形，其实它对称是蛮明显的，符合我们日常的语义，可是我们也要把它放到数学的语境里来分析一下：

围绕中心点旋转这个操作，正方形所具有的不变性就是对称。

我们换一种操作，正方形也可以对称：

围绕中垂线这个操作，正方形也具有不变性，也是一种对称。但是因为操作变了，所以这种对称和上面的那种对称不是同一种对称，之后我会再说到这个问题。

假如刚才的正方形只是桌子的桌面，继续围绕中垂线翻转这个操作就不对称了：

2.1.2 物理定律是否对称？

这个听起来就有点奇怪了，但是从不变性的角度出发，相对于时间流逝这个操作，物理定律保持不变，我们可以说物理定律相对时间对称。相对于空间改变这个操作，物理定律保持不变，我们可以说物理定律相对空间对称：

这听起来蛮哲学的，不是说数学学到后面都是哲学吗？

物理我属于民科水平，大家可以参看对称性----维基百科。

2.1.3 多项式的根是否对称？

说明下，多项式方程指的是形如  这样的方程。

群论就是从解多项式的根开始发展起来的，所以自然要谈一下为什么多项式的根具有对称性。

首先要从简单的一元二次方程说起：

从上图中来看，相对于  运算，多项式的根互换之后结果不变，针对这个运算它们是对称的。对于  运算就没有对称性。

这个对称性有什么用？根据韦达定理，一元二次方程  ，其中 ，系数是已知的，实际上我可以联立这样的二元方程组求得方程的根。

所以顺便说一下，群论的发展过程是这样的：

关于伽罗瓦与一元五次方程的问题，与群紧密相关，但是又涉及到更多别的知识，本文就不继续推下去了。

2.2 对称如何用数学表示？

让我们从正方形开始解读如何来表示对称.

之前说过，对称最重要的是在“某种操作下的不变性”，所以我们先讨论正方形围绕中心点旋转，总共有4种对称操作：

或许你觉得应该不止4种操作，比如转两圈，这可以等价于“保持不动”，而转45°，这会导致不对称（因为你会明显发现变化）。

起始点是完全不用关心的：

甚至是不是正方形也不重要：

是的，群只关心对称最本质、最抽象的性质。所以我们只关心操作，只需要把操作放到集合里。

要放进去我们必须要把操作给数学化，也就是符号化，我们起码有两种符号化的选择，类比于加法或者乘法：

稍微解释一下，什么叫做类比于加法？比如我们通过类比于加法得到 ，“保持不变”映射为了0，“旋转90°”映射为了  ，而两个操作的依次进行映射为加法。所以“保持不变” + “旋转90°” ＝  ＝ “旋转90°”，是合理。而“旋转90°” + “旋转90°” ＝ ＝ “旋转180°”，也是合理的。注意，运算不需要符合交换律。

还要说明的一点是，这里的加法和乘法是模加法、模乘法，类似于钟表，按照12小时制算，  ，  。

这样我们就得到了两个群，一个是  ，一个是 。但是我们明明知道它们应该是一样的啊，只是符号不一样，运算不一样，所以我们可以称之为同构，就是结构相同的意思。

这里先用到群的解析式了，下面就要解释一下。

2.3 群的定义

先祭出大杀器，群的标准定义：

群是一个集合  ，连同一个运算'  '，它结合任何两个元素  和  而形成另一个元素，记为  。符号'  '是对具体给出的运算，比如整数加法的一般占位符。要具备成为群的资格，这个集合和运算  必须满足叫做群公理的四个要求：

• 封闭性：对于所有  中  ，运算  的结果也在  中。

• 结合性：对于所有  中的  和  ，等式  成立。

• 单位元：存在  中的一个元素  ，使得对于所有  中的元素  ，等式 成立。

• 逆元：对于每个  中的  ，存在  中的一个元素  使得 ，这里的  是单位元。

维基百科

数学是自然科学的语言，和日常的说话相比最大的优点是精确没有歧义，缺点就是晦涩不好理解。群的定义也是这样，下面我们用人话来解释群。

套用正方形的例子来解读群的定义，选  这个群吧：

• 集合里的对象：所有保证对称性的操作。

• 二元运算：模加法。

• 封闭性：操作相加还是在集合内，比如  。

• 结合性：  。

• 单位元：保持不动就是单位元，映射为0，所以  。

• 逆元：首先旋转正方形的操作是可逆的，所以  ，同时这还是一个循环的运算，  ，都可以说是  的逆元。

其实吧，我可以再抽象一点，  ，这个群基本上已经没有原来正方形旋转的影子了。群比我们之前学的数学的抽象性更近了一步，要不怎么放在抽象代数课程里面呢？本文只是想稍微让群具体一点。

2.4 群的结构与同构

之前说过，正方形围绕中垂线翻转是不一样的对称：

上图我把运算直接表示为'  '。这个群很明显和正方形围绕中心点旋转的群不一样，所以对称也就不一样，用群的术语来说就是，这两种群结构不一样。

现实中，还有各种各样的对称，比如正方形和圆：

这两种对称的结构也不同，对应的群也不一样。群论就是对各种群的研究。

2.5 进一步的思考

关于同构，这里再进一步思考，圆是有无数种对称操作的，之前提到的相对于时间对称的物理定律，也是有无数种对称操作的（因为时间是可以无限流逝的），从某种意义上讲，两者是不是同一种对称，也就是同构？如果是同构，那么我只要研究一个群就可以研究两者了。

思考，才是数学最大的乐趣所在。