昨天下午在西雅中学听了陈灿老师执教的“实数”一课，上得很好，有示范意义。现就这个教学内容，再次谈谈自己的一些思考。
一、关于本节课的教学内容
了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，能将所学的实数进行分类。虽然课标中的要求不高，仅是“了解”和“知道”层次，但要真的了解和知道并不是一件很容易的事情，要理解实数与数轴上的点一一对应就显得更不容易。
有理数包括整数和分数，而分数都可以化成有限小学或无限循环小学，如果把整数和有限小数都表示成以0为循环节的无限小数，那么全部有理数都可以表示成无限循环小数。以无限循环小数相对的即是无限不循环小学，与有理数相对应，数学上定义为无理数。无理数不象有理数那样在人们日常生活中就可以接触到，无理数的出现是人类理性思维的结果。
无理数是一个很重要的概念，但它并不是一节课就能完全弄明白的概念，需要在后续的相反数、绝对值、无理数的运算以及用有理数估计一个无理数的范围等相关内容的学习中进一步认识无理数。
“实数与数轴上的点一一对应”包含两层意思：一是象有理数一样，每一个无理数都可以用数轴上的点来表示；二是数轴上任意一个点都可以用一个实数（有理数或无理数）来表示。要“知道”无理数可以用数轴上的点来表示，前提是要能将一个无理数用一条“实实在在”的线段来表示，要有看得见的存在。比如说直径为1个单位长度的圆的周长是Л，将圆的周长“化”直，便可表示无理数Л；在前面学习平方根时，通过拼图的方式学生已知道边长为1的正方形的对角线为根号2，根号2这个无理数也有了看得见的存在。但是由于没有学过勾股定理和相关的其它知识，对于根号3、根号5、根号7等其他无理数，我们就找不到这种看得见的存在了。特别是“数轴上的点都可以表示一个相对应的实数”，在现有的知识基础上，学生是不能真正领会得到的新知识，从这个意义上看，这些知识属于接受性知识。
关于实数的分类，老师们喜欢强调按“定义”分还是按“性质”分，我觉得这不重要，我真还没思考过按什么分，只是认为实数分为有理数和无理数，还可以按大小分为正实数、0和负实数。怎样分不是目的，分类的目的还是为了认识新学习的这个无理数。这一节课按有理数、无理数来分更需要强调些，按正负来分可以一带而过。在有理数分类时按正负分是要强调的，因为那时刚刚认识负数，按正负来分有理利进一步认识负数。
与之前学习的有理数一样，认识了一个“新”数，我们就还得继续学习有关这个数怎样参与运算？怎样比较大小？学习无理数也一样。
这节课内容的背后有着厚重的数学文化：一是无理数产生的历史，第一次数学危机（是数学史上的一次重要事件，发生于大约公元前400年左右遥古希腊时期，自根号2的发现起，到公元前370年左右，以无理数的定义出现为结束标志）；二是数学所讲究的理性精神（数学最核心的素养）和不懈地追求真理的毅力。这些都应该是数学教育的重要内容，教无理数，毕达可拉斯学派和希伯斯的故事不得不提。
这节课的内容是义务教育阶段最后一次数的扩充。因为计数的需要，人们引入了自然数（0的引入还颇费了一番周折）。为了求得两堆物体的总量有多少个，人们引入了加法运算——求两个数的和。在进行加法运算时，有时我们会遇到一类特殊的问题——已知和求其中一个加数，为此，人们定义了减法（加法的逆运算）。在进行加法运算时，我们经常会遇到一类特殊的问题，如2+2+2+2+2+2+2+…很多个相同加数的和。为此，求简思维下我们定义了乘法——几个相同加数的和的运算。在进行乘法运算时，有时我们会遇到一类特殊的问题——已知积求其中一个因数，为此，定义了除法——已知积求其中一个因数。在进行乘法运算时，我们经常会遇到一类特殊的问题，如2×2×2×2×2×2×2×…很多个相同因数的积。求简思维下我们又定义了乘方运算。加法、乘法都有相应的逆运算，乘方有不有逆运算呢？已知幂与指数求底数，已知幂与底数求指数都可以看成是乘方的逆运算，为了解决这两个逆运算问题，数学便引入了开方运算和对数运算。有意思的是，上述逆运算的定义又引发了新数的产生，如减法中小数减大数减不了啦的矛盾引发了负数的产生，除法中除不了或除不尽了的矛盾引发了分数的产生，开方运算开不尽时来了无理数、开不了时有了虚数。如下图：
二、学生已的知识和经验
新知识的学习不能忽视学生已有的知识基础和经验。新知识的学习要讲究它的源和流，要讲究“从哪里来？到哪里去？”温故再能知新，承上才能启下，继往才能开来。
在此之前，学生已认识了由正数到负数的扩充，认识了有理数及其分类，这些知识学习过程中积累的经验都将有助于本节课的学习。
在前面学习平方根和立方根时，孩子们已接触到了一些数的平方根和立方根是开不尽的数，其结果是无限不循环小数，这便是新知识产生的源。
在小学阶段孩子们已会求直径为1的圆的周长是π。在平方根学习时，孩子们通过拼图，知道了用两个边长为1的小正方形可以拼成一个面积为2的大正方形，这个大正方形的边长是根号2，这对于认识无理数是看得见的存在，可以在数轴上用点来表示是有非常重要的。
三、关于这节课的过程设计
基于以上认识，陈灿老师设计了几个环节：
1.通过 “数的概念的扩充”的介绍引入课题，让学生体会数学知识内在的系统性。
2.通过设计自学目标，学生自主阅读教材，读后交流等活动，了解无理数、实数的概念，并借助有理数分类积累的经验会给实数分类（辅以一组练习题）。
3.通过关于无理数产生的故事（希伯斯的故事），让学生了解数学历史，体会数学发展过程中人们不懈地追求真的毅力和理性精神。
4.通过问题“无理数是否也可以用数轴上的点表示呢？”，在借助π和根号2，让学生体会到无理数是看得见的存在。
5.课堂小结。本节课学到的知识，本节课学习过程中用到的方法，认识了实数之后我们将还要学习有关实数的哪些知识。
四、陈灿老师课的几个亮点
1.教学环节设计目标明确具体，教学各环节环环相扣，步步推进。
2.环节与环节间过渡的语言精练恰当，有启发性和引导性。
3.课堂中师生角色定位准确合理，节奏不急不慢，学生主体作用发挥充分。
4.微课的使用恰当，无理数的故事讲解设计到位。
5.课后送给孩子们的“有限的人生，无限循环的毅力，得到无限的惊喜”精彩。
给一位执教仅一个学期的新老师大赞！为青年教师的快速成长感到欣慰！
