对待三角问题,常规思路是运用三角知识及公式进行解析。其实,还有以下方法: 一、平几化方法 在平面图形的直观导引下解决三角问题。 例1、已知△ABC的三个内角适合sin2A=sinB(sinB+sinC),求证:∠A=2∠B。 证明:如图1,联想平几知识中的切割线定理求解。延长CA到D,使AD=AB=c, 则CD=b+c。 由于sin2A=sinB(sinB+sinC), 所以a2=b(b+c), 即BC2=AC·CD, 所以BC切过A、B、D的圆于点B, 所以∠ABC=∠ADB。 因为AB=AD, 所以∠ABD=∠ADB, 所以∠CAB=∠ABD+∠ADB=2∠ABC,得证。
二、对称化方法 利用互余三角函数间的特殊关系,以问题结构特征为出发点,通过构造“相似”结构式子,建立对称关系解题。 例2、求cos210°+cos250°-sin40°sin80°的值。 解:设x=cos210°+cos250°-sin40°sin80°, y=sin210°+sin250°-cos40°cos80°, 则x+y=2-cos40°; 。 联立解得,即为所求结果。 三、线圆化方法 从抽象的数学式子里提炼出线圆关系,使问题及字母讨论在直观的几何显示出来。 例3、设方程sin2x-sin2x=2cos2x+m有实数解,试求m的取值范围。 解:原方程变形为: 3cos2x-2sin2x+2m+1=0。 点(cos2x,sin2x)在直线3x-2y+2m+1=0上,而点又在单位圆x2+y2=1上,所以这个点是直线与圆的交点。原方程有实数解,就是直线与圆有交点,所以根据圆心到直线的距离不大于半径关系得: 。 整理得m2+m-3≤0, 解得。 四. 轨迹化方法 依题意构点挖掘点的轨迹,利用解析几何辅助问题获解。 例4、设a、b>0,且变量θ满足不等式组,求sinθ的最大值。 解设x=cosθ,y=sinθ,则不等式组等价于 原不等式呈现出鲜明的几何意义:动点(x,y)的运动区域是单位圆与二直线所围成的阴影区域。由此得sinθ的最大值就是阴影区域中的最高点的纵坐标,即(sinθ)max=yM= 五、曲线化方法 抓住三角问题的结构特征,依托曲线方程,巧妙地建构圆锥曲线模型,使问题在曲线性质的帮助下求解。 例5、若α、β为锐角,且,求证α+β=。 解:构造A(cos2α,sin2α),B(sin2β,cos2β)两点,则A、B两点均在椭圆上。根据圆锥曲线的切线知识知,经过点B的切线方程为x+y=1。显然点A的坐标适合切线方程,所以点A也是切点,从而知A、B两点为同一点。 即:cos2α=sin2β,sin2α=cos2β, 所以cosα=sinβ=cos()。 由题设条件α、β为锐角,不难得α+β=。 |
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