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王红权（浙江省杭州市普通教育研究室） 摘要：通过选修课不等式证明的教学设计，旨在还数学学习的本来面目，拓宽学生的数学视野，丰富学生的数学学习途径，使学生能更全面的认知数学，提升学生的综合素养．以弥补当前教学中“学的成分少，教的成分多”的不足，这是充实数学学习的有效途径． 关键词：教学设计；认知数学；数学学习 相等与不相等是客观世界中最基本的数量关系，不等式是各个数学分支领域都不可缺少的基本工具之一．不等式是活跃而又有吸引力的研究领域，特别是20世纪90年代后，学者们对不等式研究空前活跃，研究的深度和广度都在迅速扩大． 不等式证明至少有下列特点。 （1）大量的不等式证明问题，要读懂它并不难，但要证明它则不易； （2）不等式证明过程，会用上各种数学知识、数学方法，能促进对知识、方法的理解，也可能会获得对知识与方法的新认知或扩充知识与方法； （3）不等式证明过程是一个解决数学问题的过程．理解问题、转化问题、构建途径、尝试调整、类比、联想、逻辑推理、直觉发现等都与完成证明有交集． 依据上述特点可知，不等式证明的学习应该体现以问题解决为主线的特点。本文以不等式证明为问题解决的内容，创设几个“问题解决”的学习过程，以期在经历独立思考和探索解题途径的过程中，更新或充实学生对数学知识及数学方法的理解，提升不等式证明的能力，并获取对数学及数学学习的新认知． 一、问题引领，引人入胜 （2）一个简单且有趣的单调函数的函数值大小比较，能导出常见的不等式，不仅表明不等式问题的证明需要有思维的灵活、发散，知识理解的深刻、全面，而且说明复杂现象背后都有一个统一的简单的数学规律在支配着．数学研究的目的之一就是发现纷繁复杂的自然现象背后的简单法则． （3）数学学习需要用普遍联系的视角看待各种现象，发现现象之间的连接纽带，并揭示现象的本质，以“不等式证明”为“问题解决”的学习符合这一需要． （4）数学的统一性也正是数学美的具体体现，唯有深入思考，揭示现象背后的内在逻辑本质才能体会到数学的真正魅力． 二、问题呈现，简单入手 下面给出的问题都是历史上著名不等式的二元简单情形，其解决的方法多种多样．虽然证法的原始出处已无从考证，但各种证法的发现，对推动数学的进步影响深远． 问题2：证明下面的两个题，要求证明方法越多越好。 通过上面的问题解决会发现，对于问题2，作差比较大小、数形结合、构作辅助函数等方法均能证明这两个不等式；对于问题4作差也是可以的，即不等式证明的复杂程度增加，数形结合和构作辅助函数的方法依旧．此时，提出下列问题，来归纳想法，统一认识． 问题5：（1）数形结合用于解题的要诀是什么？它的适用性如何？ （2）构造辅助函数从函数图象得到不等式的方法是否不够严谨？如何进一步严格化？ 学生交流后，教师小结要点。（1）方法的丰富性是积极思考的结果，灵活的方法体现了扎实的基本功；（2）数形结合有助于问题的解决，提炼方法，理论上的严格化是数学的一大要求；（3）解决数学问题的方法往往多种多样，有的方法具有普适性．丰富性，可以使思考更深，观察更微，普适性可以让我们看得更远，看清楚更多的问题的“同根性”． 教师小结的核心揭示构造辅助函数的用意是利用函数的凸性来解决问题。那么，这是否暗示着不同的不等式总是对应着某个函数的一种凸性呢？ 四、研究函数，揭示凸性 如何描述某个函数在给定区间上具有的凸性呢？ 问题6：提供有关凸函数的阅读资料，通过阅读及思考了解概念．
（1）以“问题解决”为途径学习数学，需要在问题解决的驱动下，发现需要的知识，找到需要的方法，会产生尝试、失败到成功的调整过程，会借助因果转换的逻辑思维探索到证明途径，也会突然茅塞顿开，借助直觉产生想法，再作印证．数学学习需要增添这种方式． （2）不等式的证明常常被专家称为一题一法，足见研究不等式的难度之大．本讲希望通过对一系列名题的分析，试图从中找寻一种研究不等式的一般方法，给学习者一种启示，即是否存在一种更高级的通法可以统一不等式证明呢？无论存在与否，能带着这一想法去学习，无疑会开阔视野，激发研究数学的热情． （3）虽然是证明不等式，但足以表明函数的重要性和广泛的应用性．可以说，证明不等式能带动对函数知识的理解． 五、作业 （1）从解法多样性和统一性两个角度整理本节课的全部例题，并编拟两道不等式试题，解决它并理清其解题的思想或方法的共性． （2）就学过的某类问题做如下的思考：有没有一条线索可以把它们联系起来？这些问题的核心是什么？向前看其背景是什么？ （3）完成对问题3的证明． （4）如果你对不等式的证明感兴趣，建议阅读一些经典读物。 （5）如果你想通过问题解决来进行数学学习，建议你找一个不等式，利用一段时间中的空隙，慢慢地“玩”出证明来． 六、思考 本设计是以问题解决为核心的教学设计，通过问题解决，发现、归纳或概括出问题背后的数学本质、本源，努力使学的成分多一点，使教学更重视知识和方法的过程建构。笔者希望通过这样的设计，达成下列目标。 （1）通过问题解决，提升学生的数学活动能力，增强学生分析问题和解决问题的能力；通过交流，拓展学生的思路；通过教师断后归纳发现新知及获得新的数学认知的途径。 （2）通过问题解决，培养学生学习数学的兴趣，促使学生能以数学爱好者的心态学习以及研究数学。 （3）通过本选修课程的学习，反哺必修课，让学生明白要重视重要的数学方法，知道概括同质问题，要从更高观点认知数学；拓宽对数学的认知，知道学习数学并不是解题，而是需要有更深层次的文化与思想，改善对数学的看法，形成正确的数学观，并掌握一定的数学方法，会进行理性思考。 参考文献 [1]李学军，王红权．数学地认知数学[M]．杭州：杭州出版社，2014． [2]匡继昌．常用不等式[M]．山东：山东科学技术出版社，2010． [3]袁明豪．k次幂平均函数的单调性[J]．数学通讯，2005(19)：34-35． [4]BULLEN·P·S，MITRINOVIC·D·S，VASC·P·M．Means and their inequalites[M]．Dordrecht／Boston／Lancaster／Tokyo：Reidel Press，l988． [5]李学军．关于高中数学选修课程开发的思考[J]．中国数学教育（高中版），2014（5）2-6． |
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