线段之和最短问题

我们经常在考试当中看到求线段之和最小的问题，
首先来看下这几个数学模型：

模型1：两点之间线段最短

要在l找点P，使得PA+PB最短，这模型最简单，两点之间线段最短。

模型2：将军饮马问题

在l上找一点P，使得PA+PB最短，作对称。其中BA’就是最短的值

模型3：两动点找三角形周长最小

在OA，OB上找点M、N，使得△PMN周长最小，把P关于OA，OB分别作对称，然后连接两个对称点，交点记为所求，然后周长最小值为P’P’’

模型4：两动点加垂线段最短

在OA上找一点M，使得M到OB的距离与M到P的距离之和最短。作P关于OA的对称点，然后在对称点P’上作OB的垂线，交点即为所求，P’N就是最短值。

模型5：四边形周长

如图，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。使四边形PAQB的

周长最小。

总结一句话，要在哪找点，我们就关于谁作对称！是不是很好理解？

一

题型1：直线类

例题1．如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC＝10千米，BD＝30千米，且CD＝30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？

作点B关于直线CD的对称点B'，连接AB'，交CD于点M

则AM+BM = AM+B'M = AB'，水厂建在M点时，费用最小

如右图，在直角△AB'E中，

AE = AC+CE = 10+30 = 40

EB' = 30

所以：AB' = 50

总费用为：50×3 = 150万

一

题型2：角类

如图∠AOB = 45°，P是∠AOB内一点，PO = 10，Q、P分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．

一

题型3：三角形类

如图，等腰Rt△ABC的直角边长为2，E是斜边AB的中点，P是AC边上的一动点，则PB+PE的最小值为            。

如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC＋ED的最小值为_______。

在直角△DBC'中

DB=1，BC=2，根据勾股定理可得，DC'=√5

如图，在等边△ABC中，AB = 6，AD⊥BC，E是AC上的一点，M是AD上的一点，且AE = 2，求EM+EC的最小值。

一

题型4：矩形类

如图，若四边形ABCD是矩形， AB = 10cm，BC = 20cm，E为边BC上的一个动点，P为BD上的一个动点，求PC+PD的最小值。

作点C关于BD的对称点C'，过点C'，作C'B⊥BC，交BD于点P，则C'E就是PE+PC的最小值。

直角△BCD中，CH =20/5

直角△BCH中，BH = 8

△BCC'的面积为：BH×CH = 160

所以 C'E×BC = 2×160   则CE' = 16

一

题型5：菱形类

如图，若四边形ABCD是菱形， AB=10cm，∠ABC=45°，E为边BC上的一个动点，P为BD上的一个动点，求PC+PE的最小值。

一

题型6：直角梯形类

已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，点P在BC上移动，则当PA+PD取最小值时，△APD中边AP上的高为（     ）

一

题型7：圆类

已知⊙O的直径CD为4，∠AOD的度数为60°，点B是︵AD的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．

如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为(    )

A.2√2                    B.√2

C.1                        D.2

一

题型8：一次函数类

在平面直角坐标系中，有A（3，－2），B（4，2）两点，现另取一点C（1，n），当n =______时，AC + BC的值最小．

点C（1，n），说明点C在直线x=1上，所以作点A关于直线x=1的对称点A'，连接A'B，交直线x=1于点C，则AC+BC的值最小

设直线A'B的解析式为y=kx+b，则

-2=-k+b

2=4k+b

解得：k = (4/5)    b = - (6/5)

所以：y = (4/5)x-(6/5)

当x = 1时，y = -(2/5)

故当n = -(2/5)时，AC+BC的值最小

一

题型9：二次函数类

如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（-2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120。，得到线段OB.

（1）求点B的坐标；

（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；

（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果均保留根号）

一

题型10：建桥选址类

如图，村庄A、B位于一条小河的两侧，若河岸a、b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？

一

题型11：立体图形

一只蚂蚁欲从圆柱形桶外的A点爬到桶内的B点处寻找食物，已知点A到桶口的距离AC为12cm，点B到桶口的距离BD为8cm，CD的长为15cm，那么蚂蚁爬行的最短路程是多少？

垂线段最短型

如图，在锐角△ABC中，AB=4√2，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是____．