模型系列：将军饮马

将军饮马模型

“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现．

模型1：直线与两定点

模型实例

例1：如图，正方形ABCD的面积是12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，则PD＋PE最小值是             ．

解答：如图所示，∵点B与点D关于AC对称，

∴当点P为BE与AC的交点时，PD＋PE最小，且线段BE的长．

∵正方形ABCD的面积为12，∴其边长为

∵△ABE为等边三角形，∴BE＝AB＝．∴PD＋PE的最小值为．

 例2：如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠BCD＝15°，P为CD上的动点，则 的最大值是多少？

解答：

如图所示，作点A关于CD的对称点A′，连接A′C，连接A′B并延长交CD于点P，则点P就是的值最大时的点，＝A′B．

∵△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC等于4，∴∠ACB＝90°．

∵∠BCD＝15°，∴∠ACD＝75°．

∵点A、A′关于CD对称，∴AA′⊥CD，AC＝CA′，

∵∠ACD＝∠DCA′＝75°，∴∠BCA′＝60°．

∵CA′＝AC＝BC＝4，∴△A′BC是等边三角形，∴A′B＝BC＝4．∴的最大值为4．

 练习

1．如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC＋ED的最小值是              ．

     

解：过点C作CO⊥AB于O，延长CO到，使O=OC，连接D，交AB于E，连接B，此时DE+CE=DE+E=D的值最小．连接B，由对称性可知∠BE=∠CBE=45°，∴∠CB=90°，∴B⊥BC，

∠BC=∠BC=45°，∴BC=B=2，∵D是BC边的中点，∴BD=1，根据勾股定理可得：

D=

，故EC+ED的最小值是

模型2两动点一定长

模型	作法	结论
点P在∠AOB内部，在OB边上找点D，OA边上找点C，使得△PCD周长最小．	分别作点P关于OA、OB的对称点P′、P″，连接P′P″，交OA、OB于点C、D，点C、D即为所求．	△PCD周长的最小值为P′P″
点P在∠AOB内部，在OB边上找点D，OA边上找点C，使得PD＋CD最小．	作点P关于OB的对称点P′，过P′作P′C⊥OA交OB于D，点C、点D即为所求．	PD＋CD的最小值为P′C
点P、Q在∠AOB内部，在OB边上找点D，OA边上找点C，使得四边形PQDC周长最小．	分别作点P、Q关于OA、OB的对称点P′、Q′，连接P′Q′，分别交OA、OB于点C、D，点C、D即为所求．	PC＋CD＋DQ的最小值为P′Q′，所以四边形PQDC周长的最小值为PQ＋P′Q′

模型实例

如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点，且.在上有一点，上

 一点．若立△周长最小，则最小周长是多少？

 模型3两定点一定长

模型	作法	结论
如图，在直线l上找M、N两点 (M在左)，使得AM＋MN＋NB最 小，且MN＝d.	将A向右平移d个单位到A′，作A′ 关于l的对称点A'，连接A'B与直线l交于点N，将点N向左平移d个单位即为M，点M，N即为所求.	AM＋MN＋NB的最小值为A'B＋d
如图，l1∥l2，l1、l2间距离为d， 在l1、l2分别找M、N两点，使 得MN⊥l1，且AM＋MN＋NB最小．	将A向下平移d个单位到A，连接A′B交直线l2于点N，过点N作MN⊥l1，连接AM.点M、N即为所求．	AM＋MN＋NB的最小值为A'B＋d.

例题：在平面直角坐标系中，矩形OABC如图所示，点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，且OA＝6，OC＝4，D为OC中点，点E、F在线段OA上，点E在点F左侧，EF＝2.当四边形BDEF的周长最小时，求点E的坐标．

练习

1．在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，A(3，0)，B(0，4)，D为边OB的中点．

(1)若E为边OA上的一个动点，求△CDE的周长最小值；

(2)若E、F为边OA上的两个动点，且EF＝1，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标．