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我们对于数学应该怎么去看待？数学应该像一个从远处一眼就看见的美丽乡村，人们能够在其中漫步，详细研究一切山坡、峡谷、小溪、岩石、树木和花草。然而就像对其它事物一样，对于数学的美，我们只能意会，不能言传。这段话来自我们本文的主角之一--凯莱在担任英国科学促进协会主席的就职演说，这段话很好地诠释了数学，也诠释了凯莱的工作。作为一个产出丰富的数学家，凯莱完全可以与欧拉、柯西比肩。而他在不变量理论上的同志希尔维斯特则与他完全不同，两个人正好在学术上互补。今天科普君就来说说这两位。 凯莱和希尔维斯特 阿瑟·凯莱于1821年出生在英国的里士满（不是美国那个，其实美国那个里士满也是从英国借的名字，属于山寨。美国有很多这样的地名，比如纽约，英国有个约克郡，所以美国的就叫新约克），他的祖上据说很显赫，不过他的父亲只是一个在俄罗斯从事贸易的商人。在凯莱8岁的时候，他的父亲退休了，回到了英国，凯莱被送去一个私立学校。14岁的时候又被送去伦敦的国王学院。凯莱在很小的时候如同高斯一样，显露出了卓越的数学才能，他十分擅长数值计算，并且把这些计算当做娱乐。凯莱的老师们一致认为他是一个天生的数学家，在这点上，伽罗瓦就很悲催。凯莱在17岁的时候进入三一学院学习，他在大学期间最爱做的事情是读各种古典小说，但是他并没有将数学落下。大学三年级的时候，主考人因为他的数学太好了，而在他的名字下面画了一条线，意思是"在第一名之上"的最出众的一类人。凯莱大学毕业后又在学校当了3年的特别研究生和助理导师，在那几年中，他一共发表了25篇论文。这些论文规划了他以后将近50年的研究生涯的方向，包括n维几何、不变量理论、平面曲线的枚举几何学以及椭圆函数理论等。 三一学院 25岁的时候，凯莱离开了三一学院，去了一个律师协会，在经过3年的学习和实践后，他在28的时候当上了律师。然而他并不喜欢这个职业，即使在从事律师的苦役般的14年生活中，他也不断地进行数学研究，一共发表了两三百篇的数学论文。我们把凯莱先放一放，转头再来看看他的搭档希尔维斯特的成长历程。 詹姆斯·约瑟夫·希尔维斯特于1814年出生在英国的伦敦，他是个犹太人。跟凯莱一样，希尔维斯特也从小就显示出了不一样的数学天赋。15岁的时候，他进入利物浦的皇家学院，在那里他学习了两年，然后转入剑桥大学圣约翰学院，不过由于生患重病，他中断了学业，直到23的时候才通过了数学荣誉学位考试。1838年，希尔维斯特担任伦敦大学的自然哲学教授，没过几年，他又去了美国，担任弗吉尼亚大学的数学教授。但是他无法忍受在美国的遭遇，过了一年就回到了英国，去做了保险精算师（看到没，学数学的可以转很多很多行业的，大家一定要努力学好数学啊），但是他还是私底下招收了几个学生，教授他们数学，其中包括著名的弗洛伦斯·南丁格尔。希尔维斯特的精算师生涯虽然维持了将近十年，但是他并不快乐，于是在1850年，他也获得了律师资格。两个伟大的数学家居然因为律师而走到了一起，开始了他们数学史上的一段金牌搭档的佳话，著名的"不变量理论"就是从此开始发扬光大的。另外一个小八卦，凯莱和希尔维斯特站在一起的时候，有点像金庸小说《鹿鼎记》中的瘦头陀和胖头陀。 圣约翰学院 不变量理论最早是在1841年由布尔发现的。布尔观察到每一个代数方程都有一个判别式，当方程有两个或更多的跟相等时，这个判别式等于零。那么每一个方程的判别式，当其中的x用相关的y来代替时，是否除去一个只依赖于变换系数的因子外，判别式保持不变呢？结论是肯定的。那么除了判别式外，是否还有其他的系数组成的表达式具有在变化下不变的性质呢？答案也是肯定的。凯莱在这一点上开始深入研究，1845年，他的论文《论线性变换理论》标志着他开始进入了这一领域。这个领域在刚开始出现的时候，似乎并没有什么用，但是到了后来，包括黎曼、里奇、莱维-齐维塔、李和爱因斯坦他们的工作基本上都是从代数不变量理论开始的，而凯莱和希尔维斯特是这个理论真正的奠基人。 不变量理论 1850年代开始，凯莱和希尔维斯特发展了更一般的代数形式变换理论，而矩阵是他们手中极为有效的工具，矩阵代数于是被确立出来了。矩阵这个名词是希尔维斯特在1850年首次引进的，他称一个m行、n列的阵列为"矩阵"。而凯莱则是首先将矩阵作为独立研究对象的数学家，他从1855年起就发表了一系列的矩阵研究论文，奠定了矩阵论的基础。特别是1858年他发表的《矩阵论的研究报告》一文，在这篇论著中，凯莱定义了零矩阵、单位矩阵、逆矩阵、矩阵的特征方程和特征根，建立了矩阵的各种运算，同时推导了许多关于矩阵性质的理论，其中就有著名的凯莱-哈密顿定理。 矩阵运算 1863年，由于大学法规的变化，凯莱被任为剑桥大学纯粹数学的第一个萨德勒教授，直至逝世。同年，希尔维斯特被法国科学院选为通信院士。 凯莱的著作十分丰富，共发表了数学论文大约966篇。他的数学论文几乎涉及纯粹数学的所有领域，全都收集在共有4开本13大卷的《凯莱数学论文集》中，每卷约有600页。 |
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