量子拓扑是什么，量子拓扑(Quantum Topology)和拓扑量子(Topology Quant...

题主你好。“量子拓扑”指的是量子理论里面涉及到的拓扑学，而“拓扑量子”这个词语我觉得不完整，应该是“拓扑量子理论”——从拓扑不变性和拓扑不变量出发去研究包括弦理论、凝聚态场论在内的各种量子理论。

在我看来，量子拓扑和拓扑量子理论的差异，可以类比为“向量”和“矢量”的差异。简单来说量子拓扑是一个偏向数学的理论，而拓扑量子理论是一个偏向物理的理论。二者界限不是很明显。很多情况下可以认为它们是一回事。在量子拓扑学和拓扑量子理论的发展中，很多物理学家和数学家都做出了十分杰出的工作。比如说弦理论专家爱德华·威腾，数学家唐纳德。威腾是一个能力极强的理论物理学家、数学家，他对二十世纪下半叶的数学发展贡献了不可忽视的能量。其中，因为他用物理理论证明了数学上一个极难的定理而荣获有“数学界的诺贝尔奖”之称的菲尔兹奖。这个定理在理论物理学里有很高的地位，即“阿提亚-辛格指标定理”。说到这里，我提醒题主，如果不是下定决心和拓扑学死磕到底，那么就不要轻易去学习这些理论。

在拓扑量子理论里有一个很重要的模型：拓扑场论。拓扑场论来自于陈-西蒙斯示性类。当然，示性类也是拓扑学的重头戏，在拓扑量子理论里面应用得也十分广泛。一般来说它和一些拓扑不变量有关系，比如说扭结。而这些拓扑不变量对物理学的一些机制有着很不可替代的作用。但是，为了更好地研究拓扑场论，我们必须要先搞清楚在量子理论框架下的拓扑到底是该如何描述。这就是量子拓扑学要回答的问题。这里面涉及到了大量的代数拓扑学。其中比较常见的是同调代数。当然，如果是应用代数拓扑还是比较简单的，计算什么的都是小意思，可是概念上的难度却十分巨大。