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联络是定义在纤维丛上的一个重要的微分几何概念，它起源于黎曼流形的列维-齐维塔联络,后来被扩充到一般的具有流形结构的纤维丛上去，对研究各种几何空间的性质，确定纤维丛的拓扑结构，都有重要作用。它还和理论物理中的规范势等价。 黎曼联络是其中最基本最重要的一种，也就是列维-齐维塔联络。然而有意思的是这个概念的发现和黎曼本人毫无关系，而是在黎曼去世差不多50年后才由列维-齐维提出。 联络起源于微分几何曲面上向量的平行移动。在欧式空间上，由于标架场可以整体定义，那么向量场便可以顺利地求方向导数。然而在流形上，不同点的切空间是不同的向量空间，无法直接进行微分，所以就必须在流形上再赋予一种新的结构，即所谓的“平移同构”，使我们可以定义微分，这样的结构就是现在所说的联络，而列维-齐维塔联络便是黎曼流形上最自然的一种联络，被黎曼度量所唯一确定。 形象而言，联络就是一个映射，把一个向量场映为一个新的向量场，使得它拥有方向导数的性质。 而黎曼联络的要求还要更加严格，增加了挠率为零和保持黎曼内积两条要求。定义了黎曼联络之后，就能像欧式空间一样引入微分，导数等概念，大大方便了对黎曼流形的研究，使得几何学真正焕发了生命力。联络如此重要，以至于之后诞生了专门研究各种联络的联络论。不仅在流形上，之后还定义了切丛，纤维丛上的联络等等。 联络结构的提出，大大促进了微分几何学的发展，甚至可以说改变了微分几何学的面貌，使之有了今天这样繁荣的景象。这些应归功于Levi-Civita，Weyl,Koszul,Ehresmann等数学家。 |
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