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文/张宏伟（来源：初中数学解法研究） （许兴华数学/选编） 
梅内劳斯定理：一条直线分别截△ABC三边BC、AC、AB及延长线于点D、E、F，则有：本定理的逆命题也正确，证明也比较简单，这里就不做说明，读者可以阅读黄家礼老师的《几何明珠》或者张奠宙教授的《中学几何研究》，上面有详细记载。下面想着重解释这个定理的证明方法。“AF/FB*BD/DC*CE/EA=1”的左边是三组线段的比，右边是常数1，于是思考：如何构造与左边线段比相关的比例式？构造比例式的通常方法是作平行线，形成A字形、8字形，进而实现比例线段的转化。但是问题又来了，从A、B、C、D、E、F中哪一个点引出平行线比较恰当？过点C作CG//DF交AB于点G，构造与CE/AE和BD/CD直接相关的两个基本图形，则所以AF/FB*BD/DC*CE/EA=AF/FB* BF/GF* GF/AF=1。a/b*d/x*e/f=a/b*b/CG*CG/a=1。a/b*d/x*e/f=AG/d*d/x*x/AG=1。a/b*d/x*e/f=DG/d*d/x*x/DG=1。总结：上面的四种构造A或8字形都有一个共同的特征：直接构造与结论相关的比例式， a/b、d/x、e/f中有两个比例式都能实现直接转化，结论可迅速得到证明！但是，如果所构造的基本图形不能直接转化，那么证明就会变得繁琐，但也总是可以解决，这时不妨用字母改造条件，最终建立一个只含有a、b、x、d、e、f这六条线段的方程，问题就应该得证！见视角5：其实过A、B、C、D、E、F任意一点都可以作两条平行线，共有12种不同的算法。以下添线方式有兴趣的读者可以尝试证明一下。能不能将a/b、d/x、e/f中三个比例式都能实现直接的比例线段转化？当然是可行的，见视角13和视角14：分别过A、B、C作BK//AL//CM(当然也可以过三点作截线的垂线)则有a:b=h:g,d:x=g:k,e:f=k:h,所以a/b*d/x*e/f=h/g*g/k*k/h=1。分别过A、B、C作AO//FD//CP//BN则有a:b=g:(k+h),d:x=(h+k):k,e:f=k:g,所以a/b*d/x*e/f=1。关于比例线段的问题还有一种常规的想法，可以通过面积实现转化。如图：a:b=S5:(S4+S3),d:x=(S4+S3):S4,e:f=S4:S5如图：a:b=(S1+S5):(S2+S4+S3),d:x= (S2+S4+S3): (S4+S2),e:f=(S2+S4):(S1+S5)总结：上述的两种方法通过面积巧妙的转化了线段的比，用到了共边定理，关于这类方法有兴趣的读者可阅读张景中和彭翕成所著的《仁者无敌面积法》一书。下面简单介绍一下张景中院士的消点法：本题可以看成任取平面内三个点A、B、C，再任取X、Y，D、E、F是直线XY与BC、AC、AB相交而得。D、E、F后产生的点先消去，应用共边定理可得：a:b=S△AXY: S△BXY(消去F),d:x= S△BXY: S△CXY(消去D),e:f= S△CXY: S△AXY(消去E). 所以a/b*d/x*e/f=1.消点法是张景中院士所创，在几何机器证明中有广泛的应用，详细请读者阅读张景中院士的《几何新方法和新体系》等相关书籍。梅内劳斯定理在中考和竞赛中都有着广泛的应用，有时可以说“一招制胜”。2010年上海中考25题（2），数据如下图，求∠BPD的正切值。梅内劳斯定理还有两种角元的表达方式，也可推广到n边形，详细可参见沈文选的《几何瑰宝》。在梅氏定理发现后，又过了约1600年，意大利几何学家赛瓦（Ceva）在梅氏定理的基础上又发现了“塞瓦定理”，可以说“梅内劳斯定理”和“赛瓦定理”是两兄弟，是平面几何中两颗耀眼的明珠。
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