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我们发现，在平面几何的学习中，大多数同学都有这样的困惑 —— 题目看上去很简单，一看答案都会，但真正考试时却做不出来... 为了解决这样的困惑，我们特别邀请了爱尖子张明宇老师于4月19日晚给大家开了一场关于数学竞赛中平面几何的学习方法建议的讲座，现将讲座内容整理成文字，希望能给同学们一些启发和借鉴，本文仅张老师对平面几何学习的个人见解，如有不妥，欢迎指正~ 讲座正文如下： 提示，万字干货，集合了几位老师的心血，一定要看到最后！ 《数学竞赛中平面几何学习方法建议》 主讲人：张明宇 目录： 一、中学生平面几何学习规划 二、平面几何学习建议 三、平面几何的训练方法 四、平面几何学习的常见误区 五、常用书籍和习题推荐 平面几何学习规划 平面几何不仅是高联二试中非常重要的模块之一，同时也是一个从初中到高中，一以贯之的知识内容。 首先列举一下从初中到高中学到的几何知识： 初中课内，主要以全等、相似、四边形为主的直线型平几知识为主，对圆要求相对不高； 高中课内，平几的知识被收录在选修里，高考对其要求不高，甚至一些地区不作为高考考察内容； 自招，各高校自招大概率会出现一些几何计算的填空选择题； 数学竞赛，初高中数学联赛直到IMO必考内容。 初联、高联等竞赛实际上额外补充了很多定理、概念和方法，尤其明显加强了圆这部分内容的考核。 由于平几通常作为中考的压轴题，高中课内又不太讲，同时又是初联、高联非常重要的模块之一，所以整体来看，如果你想走竞赛这条路，且拿到不错的成绩，在初中阶段系统地学习平几是提升最快最高效的。 那么如何在初中阶段学好平面几何呢？ 核心思想—— 按照高联大纲要求的平面几何来学习。 整个初中学习的平面几何的知识点和方法，其实和高联的差异并不大，高联更多的就是补充了少部分的几个定理以及一些更精妙更有技巧性的方法，所以没有必要把初联和高联区分开。 高联二试中代数部分是跟高中课内有关的，数论和组合，无论初中还是高中课内几乎都不会接触的，这不学肯定没有任何机会，但平几从初中就开始接触，如果你目标是高联省二及以上的话，那么平几是你整个学习中非常重要的环节，也是最不容失分的模块。 ■ ■■■■ 下面给大家介绍一下具体的学习规划： 如果你是从初中开始，那么初一需要解决的是中考范围内的直线形问题——全等、相似、四边形等；初二，开始接触圆和初高中联赛必备的平面几何知识；初三，因为大家可能有中考压力，在复习中考的同时可以集中加强习题训练，这样，你在高一开学，如果能参加高联，那么你在平几上是有非常大的优势，这是我对于初中同学的一个建议。 如果你是从高中开始，只参加过中考没学过初联也没关系，因为在这个时候起码中考范围的内容你是没有问题的。整个路径跟刚才说的比较类似，高一上解决初高联中必备的平面几何知识；高一下加强训练。这样，你在高二的高联中就很有机会把几何题拿下。核心思想就是 —— 先解决课内知识，然后补充竞赛知识。然后按照我后面说的方法进行训练。至于说高联当中考纲考哪些知识这个事儿后面会有些书籍相关推荐。 平面几何学习建议 把握了核心思想之后，我对学习的要求有三个点 —— 重视基础、吃透考点和强调模型。 （一）重视基础 重视基础是重中之重。很多孩子之所以认为自己平几很厉害，结果考试却做不对题，就是因为不重视基础。以下我分了四个方向进行讨论： 1、强调图形认知能力：读图、识图、画图、改图 这点非常重要，什么叫认知呢，就是读图、识图、画图和改图。 读图，跟审题类似，就是要搞清楚题图是怎么画出来的。 先有哪个点、哪条线，哪些点连成哪些线，哪些线连成了图形，这个过程能够帮助你搞清楚很多隐藏的信息。 识图，即在题目给的条件下挖掘出一些你见过的模型，找到其中一种你认识的模型下结论。比如，图画出来之后你发现屏蔽几个点后，剩下的部分非常像之前做过的某个题；或者你看到某些角某些线组成关系的时候，可能跟之前见过的某个结论特别的像。这个过程就是从读上升到了更加深入地认识这个图里面蕴含的东西。 什么是画图呢？我会要求学生做高联二试时，哪怕卷子上有图，也最好自己再完整地画一遍。因为重新画图的时候，我会想怎么能够把这图画得准确、到位，这些需要小心注意的点，恰恰很可能是解题的关键。画图的顺序、逻辑，跟解题的方法有很大的关系。 改图，并不是改题（有些学生水平很高，做完题可以改是肯定很好）。改图，就是如果发现题目中有些点、有些线可以任意取，那么就想一下 —— 这个点、这个线或者条件换一下，我能不能通过一些特殊位置，能不能通过一些极端方法，去探究当我改了这个图之后这个结论是不是依然成立，如果结论依然成立，顺带着能不能发掘出其他关系和条件？所以，改图就是在挖掘一些动点或者动态过程中一些不变条件。 2、加深概念定理的认知、理解和运用场景 这点恰恰体现在看答案能看懂，做题不会的这个现象。定义本身知道，所以看了答案，按照方法都能推出来，但难就难在考试的时候根本想不到能用这个定理。归根结底，这是因为你没有搞清楚这个定理本身到底在说什么，阐述的是一个什么现象，描述的是什么关系。其次是没有把这个定理和很多题目以及模型进行强关联。当你能够完成一些关联之后，你就能搞清楚这些定理常见的应用场景，这样考试才能想起来。 3、理解“简单”推理过程的本质 很多学生在看答案时，像导角、导边啊，这些特别简单的过程，他认为考试时肯定能倒出来就跳过了。但实际上很多题目中导角恰恰是很多学生看不出来的东西。 比如去年高联第一题，其实有很多重要的导角导边的过程，但学生根本就不会找，也没有想到去找。这些过程看似简单，但为什么这么导，怎么导，甚至导出这个角对题目有没有帮助，学生都没想清楚。所以一定要深入理解一些看似比较简单的推理过程，它背后所阐述的几何现象。 很多老师让学生认真写过程，不仅为了规范，同时也是为了能好好理解过程中一些推理阐述的本质。 4、深究几何变换、辅助线的目的和效果 很多学生做不出题来找我，老师你把辅助线告诉我呗，我一旦告诉他这题就没有任何价值了，因为知道辅助线怎么画基本就知道怎么做了，而难就难在不知道怎么做辅助线。辅助线带来的效果是什么，能做到什么，为什么通过这种方式能带来额外的条件和性质等，学生都不清楚。 比如说截长补短啊，倍长中线啊，这都是初中特别简单的知识，很多孩子就会认为，是不是看到中点就要倍长呢？是不是看到A B=C就要截长补短呢？在很多简单题中是这样的，但竞赛中就没这么直接没这么简单了。大家要真正搞明白所谓倍长中线到底在说什么。它说的是一个平四边形的构造，是边和角的平移和位置的变化。如果你搞不清楚，考试时你可能想不到倍长中线。 这是其中一个例子，所以你得搞明白辅助线、变换最终的目的和效果，这样才能举一反三。 （二）吃透考点 说白了就是知彼知己，你得知道考什么。比如你目标是高联，但你训练的定理和方法全都是国家队，甚至是IMO要求的东西，那你肯定是练偏了。所以大家一定要搞清楚高联考什么定理，考什么变换，考什么方法。而这些东西很多书会帮你总结，很多课程也会帮你梳理。同时你要通过训练搞清楚在考什么东西。 比如平面几何，学生说我研究解析法，我研究复数法，研究向量法，没问题，这是一些常见方法。但这些方法在高联中出现得多吗？多少年考一次呢？最近时间考了几次？大家可能都不知道。其实常规的方法还是主流的。 （三）强调模型 中考范围内，平面几何考点没有特别复杂，无非那么几种套路，从中可以总结一些常见的结论和模型。高联也一样，只是模型藏得更深，数量更多。所以对待高联，第一要理解模型本身的结论，第二找到它的应用场景，第三训练找模型的能力。 你首先得知道很多模型。人家做题能知道用a用b你啥都不知道，那就说明手里的兵器不够。这通过平时训练、看书做题，包括老师讲课，都能做一些总结，慢慢累积。 其次，每次做题时，如果能发现相关模型或结论，你要想，为什么它在这儿能用，它在这儿有什么好处。 再者，搞清楚怎样从题图里发现模型。很多题把模型藏起来本身是有逻辑的，所以如果你能想明白出题人是怎么把它藏起来的就非常有价值。 平面几何的训练方法 下面来说说如何训练解题。 1、训练题目：中考压轴题 —— 几何教程 —— 初高联真题 —— 高联模拟题 —— CMO中1245题 ① 初中几何知识学完后，先拿中考压轴题练手，帮助同学理解几何思想，同时强化辅助线、各种定理的理解；（尤其注意，学完知识不等于会了，一定要拿题进行检验） ② 中考知识消化后，开始竞赛几何学习，可以拿一些著名的书籍或课程来学习；（后面会推荐） ③ 掌握了知识后，开始做题。首推初高联真题，真题做完后可以做一些不错的模拟题，比如中等数学增刊里的题等，水平好一些的同学还可以尝试做一做CMO里的几何题。 2、训练频次：保证每周2~3道二试大题 因为二试题目需要思考的时间长，所以几何训练如果能有大块儿时间是最好的。每周至少要保证有2~3道二试大题的训练。把基础教程（推荐的书或课）刷完差不多，这个频率一定要保证。所谓手感要火热嘛，起码几何的思路不能断，时长训练才能厚积薄发。 3、训练时长：每道题保证至少30分钟思考 我见到很多孩子，包括很多对数学非常狂热的孩子，有个习惯，拿到个难题，开始瞪眼，瞪了十五分钟或者十分钟，发现太难了太复杂了，根本就超出个人能力了，然后赶紧看答案，一副恍然大悟，这题真好，真精彩。但久而久之这些题全浪费了全都做瞎了。我的要求是，哪怕这个题你不会做，每个题也得花完三十分钟。只要题目难度是合理的，是你应该训练的，那就必须把时间用到位。如果连这种耐心都没有的话，在高联考场肯定就慌乱了，长时间思考，长时间尝试，包括重建思路，推翻思路，这个过程是必须要有的。 全国范围内高联二试四个模块都能做对的学生肯定没那么多，目标省级奖项，一般来讲能做对2~3题就很不错了，所以考试时间相对来说比较充裕，如果没有花很多时间去考虑一个问题，没有这种耐心和习惯，问题是非常大的。所以，考试过程怎么保证思路清晰、保证思路快速变化的能力是要通过日积月累的训练的。 4、学会看答案（非常重要） 不会看答案，是很多学生学习几何的通病。 看答案达到什么效果才能对孩子真正有价值呢？这里面我提到了四个字，叫顺理成章。什么意思呢，题不会做很正常，尤其是一些比较难的题目，不会做太正常了。刷竞赛题的初期可能就没几个题会做，这没关系，你看答案的时候，很可能这个题会因为其中的一到两个步骤，这一两个步骤实际上就是我们破题的关键。如果能够找到这样两个步骤，并且除了这两步以外，其他步骤都能独立完成，而且步骤的推导非常顺利，那就说明你找到了这个题的关键点。 找到这个点，是你开始的第一步，也是你破题的关键。而其他步骤，如果逻辑关系很清晰，说明你已经具备看懂这个题的基本能力了。而不是像流水账一样12345678，好了就过了。 当你找到这个点之后，该干嘛？你最大问题在于你没做出来对不对，那么就要去问自己这一点或者这一步我为什么没找到，去分析整个题目的条件与结论以及模型。你常见的及之前的累积，要去做一个排列组合。然后你会发现，原来是因为哪个点没考虑到，忽略了这点，把题目的条件、结论和破题的关键，做一个逻辑关联，这个题你才算是真正的学会了。 总结下来就是，先理解并找到题目的关键，再通过命题的思路反推这个题目关键的来源。那么你再去考场上做题的时候，这就是你其中一个武器。我发现这个题和之前的某个特别像，某一个点特别接近，当时这个题我没做出来，是因为某个某个结论，能够可能推导出什么什么东西。当时那个东西就是解题的关键。那今天我来尝试一下，能不能得到相应的结论，这就是一个累积的过程。 所以看答案一定要非常谨慎，如果一个题需要你三十分钟思考的话，那么看答案，起码也得需要二十分钟，甚至是比你做题时间还要更长，这才能真正思考到位。这个时间只是一个量化，孩子领悟能力不一样，看个人情况。 平面几何的常见思维过程 前面我们说到了训练方法，下面我们来模拟一下考试的时候常见的思维流程。请注意，“流程”这个词并不是适用于所有题目。每个孩子的能力不一样，脑回路也不一样，以下仅提供一种方式以供参考： 首先，读图，从中挖掘一些你可能发现或者没发现的条件； 其次，把题目中给出的条件和结论做延展。从条件出发，经过之前的模型累积能够等价出或者拓展出哪些其他结论？看看结论之间有没有更多的等价条件？ 再次，得到很多条件和结论的延展后，拿之前所训练过的模型和方法进行匹配。 比如，想证明ABC这些结论，有哪些手段？这一结论，我们什么时候见过？这个时候你之前的累积就有价值了。 最后，多次试错、调整，不要干瞪眼。 之所以高联题目难，可能是因为你试了很多次都发现跟你做的东西都不太一样，你之前熟悉的东西不好用了，这个时候，干瞪眼儿也没有用，一定要学会试错。我希望孩子们不要在考试的时候去试，而尽量在平时的时候就养成试错的习惯，你试的错越多，你积累的错误路径就越多，考试就更容易避开。 总之，学几何一定不能指望考场上灵光乍现。希望同学能够通过合理的训练，平时多积累、多总结，势必在高联中拿下几何题。 平面几何学习的常见误区 下面来说说同学做题时一些常见的误区。 1、迷信高端定理 炫技，在同学面前显摆一个从来没听说过的定理，感觉自己很大神，但很可能这个定理平时根本用不上，只是知道名字罢了，甚至高联，其实完全不考。所以就了解考纲本身，知道常见的一些定理就很不错了，千万不要迷信高端定理，你可能真的用不上。 2、难题就是好题 很多学生，甚至很多外面上课的老师都会给大家一个感觉就是难题就是好题，有些课讲这么简单没啥意思等等......除非你都能做对，就怕你不见得会做，还觉得简单，这并不是什么好事儿。 老实讲，我认为真题才是好题。一味追求难度，可能会超出高联考纲。所以尽量做一些比较像真题的题目，或者公认质量比较高的模拟题。基础训练非常重要，难题和好题之间其实没有明确的强关系。 3、追求“炫酷”方法，但不研究本质 比如说好好的几何，非得来个解析法，非得用上复数，非得用三角函数。我并不否定大家学这些方法，很多时候这些方法非常好用，但掌握这些方法关键在于研究用这个方法的本质。为什么这个题用三角函数，用平面解析法要比正常的推理更简单，为什么这个用反证法？你不搞清楚本质，下一次只能因为想用而用，未必能快速准确的答题。 4、看懂答案 = 会做题 5、不写不看解题过程 最后两条放一块儿说，这是孩子们做题时的非常不好的习惯，很多孩子答案一看懂，好题好题巧妙，打勾过去了，根本没有把过程重新想一遍、复述一遍，没明白之间的逻辑关系。如果你有这种习惯的话，就跟没做一样，反而浪费了好题。 推荐书目 下面给大家推荐几本书： 1、浙大小红皮，《高中数学竞赛专题讲座-平面几何》 上图就是我们俗称的“浙大小红皮”。这本书里平面几何的基本知识讲解的比较透彻，而且比较好理解。所以对于学完初中课内，想准备竞赛知识的同学来说，这本书可圈可点的，可以通过它来学习一些常规的知识方法。 2、《平面几何证明方法》全书（第二章） 这本书是胡老师向我推荐的，它的第二章阐述了很多方法，从点、线、面到整个几何图形的平移、旋转等等各种变化，讲得非常详细。这本书也是从方法角度和思想层面对学生有很大的提升。这本书还有个特点，答案是单独卖的，可见这本书答案有多详细。所以这本书的答案如果能好好使用的话，价值非常得大。 3、《奥赛经典》 这套书大家很熟悉，我们推荐的是奥赛经典高中版的几何。我当年高中学平几的时候用过，后来做了老师后用的更多。这本书定义讲的非常地细，而且定义非常多，但题目有点难，且梯度有点大，a组的简单题还OK，但b组题很多会上升到国家队甚至IMO的难度。所以这本书要选择自己适合的难度和相关的章节去使用，最好有人能指导。这本书作为补充我觉得完全没问题。 4、《俄罗斯平面几何问题集》、《中等数学》增刊 这两本书的作用不太一样。俄罗斯那本书，它更多的是基础习题，如果你中考完全能搞定，想训练平几的基础能力，这本书就非常适合。 中等数学增刊则用于初高联的真题刷完之后，它里面有很多国内非常著名的老师出的一些模拟题。整体难度比联赛要偏高一点点，但不会有太大偏差。 CMO真题中的3题和6题太难了，平几一般不太会出现在3、6题上，偶尔会有。所以CMO中1245位置的平几是值得一些水平不错的孩子去训练。 以上就是我推荐的书籍和题目。 |
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