|
写在前面的话： 感谢作者杨铮和龙门物语公众号授权转载，希望本文能对广大数竞学子带来一些思考与帮助。学而不思则罔，思而不学则殆，共勉。 想对高中数学竞赛初学者说的话 20 届 8 班 杨 铮 作者简介 2019 年第 60 届 IMO 中国国家集训队第二阶段队员 第 11 届(2019 年)罗马尼亚大师杯银牌 杨 铮  上海中学 20 届 8 班 应龙门物语之邀给上中新高一的同学写一段话，我却把它写成了一篇文章。记录下这些心得，算是为我漫长的竞赛生活点上了句号，同时更希望能对高中竞赛初学者有些许帮助，尽量避开我走过的弯路。 以下仅仅是我的个人观点。 1 关于上课和看书 学竞赛最重要的是会做题。一个人当然可以很爱研究一些漂亮的东西（比如平面几何），或者学很多高等数学的知识，可是他在数学竞赛方面的水平基本不是由这些决定的。数学竞赛水平很大程度上取决于对数学的理解，对数学竞赛题目思想、方法和结构的掌握、运用，以及思考问题的能力。提高数学竞赛水平一般靠上课和看书自学两种方式。 先说上课。上中的培训体系谁去谁知道，去了之后水平飞涨。对于数学竞赛初学者来说，进省队之前还无缘参加上中非常棒的冬令营培训以及后续培训，这时候可以参加每周一次的数学小班和数学发展课，以及上中数学夏令营。这种分板块教学的课程比较系统，课上自主思考，课下做好复习，可以循序渐进地掌握必备的竞赛知识。上课之余，老师还会给竞赛生发题，他们选题、带学生的水平是非常高的。你如果每天挤出时间做老师发的题，会有很大的提升。 再说看书自学。市面上主要推荐是看小蓝本，然后是数学竞赛研究教程，中等数学增刊，走向 IMO 等等，参考书有（二潘的）初等数论，不等式的秘密，近代欧氏几何学等等。命题人讲座中冯校长的《初等数论》也非常好。我在初学阶段主要是靠上课提高到联赛一等奖水平的，看过的书不多，所以不太知道怎么用书启蒙数学竞赛，以下只能说一些零零星星的个人体会。其一，很多书上会有一些看起来很简短但比较难想到的证明（比如大部分不等式书上的用均值、柯西的巧妙的放缩）。它们基本想不到，而且用不到，而且如果你最终水平高了你会发现它们即使对水平高的人来说也真的很难（因此我认为陈计老师对《不等式的秘密》的评论很有道理）。   一个反面典型 真正有用的是那些一步步简化命题的看似繁琐的做法，比如不等式中的调整，求导等方法。其二，一个证明在书上写给你看的时候，呈现给你的不一定是它被想出来的时候的样子，而是它整理好了的样子。比如有些看似神奇的放缩，实际上可能就是想减少变元个数，而且可能这步放缩是充要的（就是说如果这步放缩能放过头的话，那么原题的式子本来就是不对的）。那么它被想出来的时候，不一定是尝试放缩能得出来的，而可能是一步步推理出来的。其三，达到了一定水平之后，你就可以做中等数学增刊二和走向 IMO 了。哪怕是集训队的考试题目也都是能做的题，只是很难在四个半小时内做出来，所以你在做这些题目的时候不需要害怕，而且花功夫做出这些题目对你的水平帮助很大。其四，做题目的目的不仅仅是知晓答案，而是需要仔细思考解题的思想和方法，为什么这个方法能做出题或做不出题，这个方法是在发掘或处理或用到了什么结构，这个方法是如何被想到的等等。 2 关于充分利用时间 兴趣是最好的老师。首先假定你爱数学，就像数学班里绝大部分学生一样，在所有能够使你思考的事中数学是其中相当能给你快乐的。然后一个很现实的问题，如果你希望凭借数学竞赛成绩进入心目中理想的大学，那么你进入上中的那一刻起就务必清楚：没那么多时间能浪费的。 不要看有些同学似乎随便搞搞就进了省队、集训队。对于你我这样的大多数人来说，如果随便搞搞，每天只搞个一两小时，那就是去做分母的。如果你足够喜欢数学并且知道你自己水平不够的话， 你应该没有时间做不相干的事，比如和同学们扯皮，参加过多的社团活动，或者和别人出去玩，更不可能有时间谈恋爱。你需要充分利用高一阶段学习时间，拓展自己的长处，补足自己的短板，提高你对数学的感觉，把你自己打造得尽可能完全融入竞赛，你才能在竞赛上比别人知道得多，理解得多，才能比别人厉害，从而清北招你而不是别人。 为了学竞赛，你不仅能调动你的优点，比如自律、谦卑、善于思考、有求知欲，甚至还可以调动你的弱点，比如愚钝、自我等等。你不仅可以通过自己思考提升你的竞赛水平，你听某节课，或者看别人的某个解答，得到别人某句话中的某个暗示就有可能触动数学方面的感觉，让你对数学的某些思想瞬间提高一个认识层次。所以你要做的就是每天沉浸在数学之中，以便在这种机会来临时尽可能地察觉到和得到进步。 3 关于考试 考试能力也属于数学竞赛水平。考试最重要的有三件事：书写，心态和“骗分”。 首先就是书写。书写非常，非常重要，每次竞赛都有很多人因为书写问题没能晋级。如果一道题 7 分你做出来了而你的期望是拿 7 分的话，那么过程哪怕扣 1 分都相当伤，要是扣到 3 分就比较难以弥补了，没几个 3 分能给你追回来的。比如王广廷老师就说：“你做了 3 个题，然后这里扣扣那里扣扣，连 2 个题的分都没有”。你书写的解答是要给一个不知道你做没做对题的人看的，你要让他尽量快地接受你思维逻辑，看懂你的解题方法，而不是被你的解答绕晕（这样他就会给你 0 分）。书写的表达清晰和卷面整洁是要刻意训练的，什么时候设字母、设多少个，用什么词指代什么内容之类的事情都是要慢慢学习。  写得不好的解答与写得好的形成鲜明对比 平时练习书写的方法是做每道题之后去写那道题的解答，并对自己表述上的问题进行反思和总结，在以后注意避免，最终力求做到随便写个解答别人都能完全领会你想表达的东西，而且卷面干净整洁。特别注意一点，就是千万不要出现伪证，在任何考试过程中你伪证一次都会少掉特别多的分数，基本与晋级无缘了。在伪证这方面，到处都充斥着血的教训。看错题导致的丢分也是很伤的，看到题目一定要仔细读对、读懂。 然后是心态。一个人能达到怎样的成绩，考试心态和实力几乎同等重要。心态好的时候，考场上全身心投入，能够调动全部所学知识和脑力；而心态不好的时候，思维和题目不能充分接触，可能做不出平时能做出来的题。如何调节心态可能是比较玄的事，我提供一些个人心得。其一，多参加模拟考试，并且是要全真模拟，甚至考试时的紧张和心理负担也要有，这样才会知道自己考试时心态上的问题都有什么，以自己思考和改正。其二，不论发生什么都要坚持到最后。举个例子，2015 年的冬令营，一些高手被第一天的题目打懵了只拿到一个得分点，第二天心态没有及时恢复导致发挥失常。实际上他们第二天有实力做三个题，那一年的集训队分数线就是三个题加一个得分点。在 CMO 和集训队的考试中，前面考得再差，如果你坚持到最后还是可能会胜出。其三，任何时候考试题目的难度都不一定是按顺序排的，而且哪怕题目难度就是按顺序排的，你的思维和别人不完全一样也很可能会导致你轻易想出来大多数人认为很难的题目，或者对大多数人认为非常简单的题目毫无想法。比如 2017 年 CMO，第五题看似能做实际没有人完整做出，第六题看似难做实际上简单。当年集训队分数线是 69 分，不少得了 66 分的人就是因为猛做第五题不做第六题。实际上花些时间，在第六题上随便推导出一些东西就能进集训队了。甚至有更极端的例子，比如我集训队二阶段的时候四个第三题都做了出来而四个第一题却有三个不会做。最后是我的一个经验，就是考试时专注做题的时候有时会卡在一个地方，这时候暂时离开考场去上厕所放空一下头脑，回来再用一种新的角度去看这道题，说不定就能有大的突破。 最后就是“骗分”，准确地说就是拿一切能拿的分。每次考试脑子里都要有这件事情，把每个题目都想一想，不会做的题目也不要完全放弃，写出一切你想到的东西。所有的分数线几乎都比预测出来的要低，而每次考试的分数线下面都有一堆人差一个得分点的，原因有前面说的书写和心态，还有就是他们不肯花那个工夫在他们不会做或者战略性放弃的题上面去拿分。只要你想写，你在每道题下面随便写点有道理的东西都很可能踩到得分点，然后老师们不得不给你分，一次或几次下来你就比那些不写的高出一大截，可能晋级冬令营或集训队的就是你。 再作一些补充：第一，我们要适当锻炼自己记录想法的能力。考试时要带着题目中的一堆信息去捕捉你脑中闪过的灵光，这时候这个能力直接影响做题的速度。做题时往往把两个想法叠在一起才能做出来，这时你如果在想到第二个想法之前因为信息不够而放弃第一个想法就做不出来题目了。这时你可以把第一个想法记在脑子里，或者记在纸上。如果是前者，那么你就能做出题目，如果是后者，那么你适当地放空一下头脑，再回头看你的草稿纸也能做出题目。第二，运气也是一个不能忽略的要素，比如说考场环境就可能对一个人的考试成绩有影响。所以我们要提升自己的实力，同时为可能发生的情况作好准备，这样就能确保你几乎不受运气影响。 4 关于四大板块 我几何和组合相对好一些，代数和数论偏弱。下面是我个人对数学竞赛中四个板块的看法和理解，供大家参考。 代数比较容易靠多做题练上去，做三元不等式主要不是靠什么均值柯西，都是靠暴力展开用米尔黑德，或者用求导、调整做出来的，要么就是靠用一些方式把式子变得越简单越好，竞赛也已经很久不考三元不等式了。做 n 元不等式则有时需要一些感觉，主要还是把题目里式子的形式变得越简单越好或者把一些变元用求导、拉格朗日乘数法或者代数变形调整到相对平凡的情况（比如去年联赛第一题），有些时候要放局部不等式，有时候还要一些数感或者分析方面的感觉。有些不等式是要为了把形式变得简单直接照着取等条件对一些比较大型的式子用均值放缩几下的（比如去年 CMO 第一题）。总之做不等式的时候，主要是为了简化式子的形式而去进行放缩。另外一些代数题比如复数，多项式，函数方程则不太会在联赛二试之类的地方出现，而且我也不太会做，要做到的话就凭感觉和经验冷静思考一步一步做。还有就是在处理代数式的时候，经常会出来一个关于 a 和关于 b 的同样的式子（比如用拉格朗日乘数法做不等式的时候），这时作差就能分解出一个因式（a-b），这对放缩和求解很有帮助，而且你这时候可以对另外一个因式作相当随意的放缩而不放过头。 对平面几何来说，有很多人很喜欢它，也有很多人很讨厌它。现在国内选拔比以前更注重平面几何的水平，而国内平面几何的出的题比别的国家出的题更容易用计算来刻画结构。适当的纯几何水平是必要的，平常也要积累一定的结构并把它融入你的思维，不然连计算都无从下手。平面几何中重要的是能简化题目结构的等价转换，以及一些巧妙的等价关系（比如共圆），而在实际做题的时候基本就是先考虑简化结构，然后才是一些神奇的技巧，因为技巧实在太多太杂了，一般不太能看清楚什么技巧能用什么技巧不能用。  今年集训队的第一天第一题 这里就需要你不怕（简化结构时可能带来的）计算。所以最后还是要有一定的计算工夫，不然一是有些题计算很容易但纯几很难，二是有时候如果用纯几在某个地方卡住了，那么你就能强行把那个卡住的地方算出来而不至于束手无策。就像走迷宫，你会很多走迷宫的技巧当然是好的，但是会拆墙才是硬道理。现在的计算基本不是不刻画结构一路算下去（当然那些纯死算的方法你要了解一下，今年集训队的第一天第一题就是对不知道复数法的人很不友善的题），而主要是为了刻画结构，方法有用正弦定理导边、导比例，对一些知道正弦值或者被用基本量表示的角用角元赛瓦定理或者别的什么去证三线共点（绝大多数情况下这样列出来的式子里分子分母都能直接消光），或者将一些几何对象强行用基本量（比如三边长，三个角）表示，列式列到最后一步再暴力展开。对计算的重要性来说，去年联赛的第二题就是明证。国内很少在高级别的考试中出很难的几何题，不过几何好不仅对你做几何题有帮助，还对你做别的，尤其是需要几何感觉的题有帮助。有时几何水平也对你是否能进入下一阶段起了很大作用，2018 年 CMO 中，那些几何不好的人进集训队就比几何好的人困难很多。 数论，本质上是讨论整数的结构。数论主要有一些理论体系：整除理论、同余理论、阶的理论、二次剩余。不定方程则是这些理论体系的综合运用。这些理论再往深处就是和抽象代数和代数数论、解析数论相关的内容，比如对环Z[i]的讨论（不过竞赛基本不考）。二潘的《初等数论》上有系统的讲解，进了冬令营以后可以专门看以加深理解。另外还有多项式的理论，那也是一个很困难的内容，如果看到有无穷多个数满足同一个性质，那么那里面很可能就出现了一个多项式有无穷多个根（从而任何数都满足这个性质）。这些东西你都要系统地学习，并且多做（你能做的）题以让你对它们不害怕。现在大部分数论题都是和组合结合的，数论方面只用一些整除和同余的步骤，这些题不仅要看你的数论功底，还要看你的组合功底。 组合是最难训练的，也最靠天赋。组合实际上有一大部分是你对一些离散对象的处理，和数学竞赛之外的生活实际联系最大。组合中常用的方法有数学归纳法、构造映射和抽屉原理、直接刻画结构，等等。数学归纳法比较容易刻画一些很难直接刻画的结构，因为有时一个简单的事情不断迭代之后就会变得很复杂；映射这个结构不是容易的，这和抽屉原理有很大关联，而抽屉原理及其证明一点都不简单，很多时候用抽屉原理的时候还不知道是哪些元素在同一个“抽屉”里，导致有些题不能有构造性证明。有时候看到组合题要特别注意它能用多项式做这一可能性：这里特别提醒一下，n次多项式只有n个根这一性质非常的不平凡，而且非常强。组合还能和代数，几何，数论中任意一些版块结合，这就考验你对数学和数学竞赛整体的理解了。有些人害怕组合，那么这里就要强调一下，不要害怕，看到题大胆做，如果做不出来那么你本来也没这个命做出来。你能否做出来一道组合题与你的思维是否和这道题契合有很大关系，因此组合中最可能出现你怎么都不会做而别人都觉得很简单的题目，和你觉得很简单但是别人怎么都不会做的题目。 这里特别需要提醒的就是不要盲目地学一些不太常见的套路或技巧，随便看一下开一下眼界是必要的，看到每道题的时候反应一下也是必要的。但是不要想着做题的时候都去套用它们，因为正式考试的出题人比你更了解这些技巧，因此他们能够刻意避免，而且基本不会出那些“知道了 xxx 就做出来，不知道就做不出来”的题，就算真的出了，你大概率也不会是运气好碰巧知道技巧的那一个人。近年联赛和冬令营几乎都是纯考你对基础知识的熟练度，没有需要很大的套路的时候。纯几何吧里那些高超的几何技巧建议你不要总是模仿，你就去老老实实简化结构，那些东西不是一般人学得来的。5 关于一试 一试非常重要。联赛一试如果高分，那么二试只要不比大多数人差的话基本就能进入省队。一试如果比别人低个二三十分，那么靠二试把分数拉回来就很难了。像上海这样数学竞赛比较强的省市，一试成绩更为重要，往往就是一些二试没有重大失误也没有超常发挥的人进省队还差的那一口气。事实上，每年都有很多进集训队的人考联赛时二试没有取得特别突出的成绩，是靠一试高分进省队的。 这里主要讲练一试的方法。初学高中内容的话建议刷精编，不用刷很多，基本上刷一点点就能知道常规高中题里重要的东西是什么（比如解析几何里的韦达定理）。对高中常规内容有一定的掌握以后建议做各种一试模拟，不过很多一试模拟都有一些过于复杂或过于套路的东西，比正常的一试难很多。到了上中以后你会遇到一个能极大地提高你一试水平的东西—周爽。周爽没有一试难，但是考周爽可以让你很好地把握考一试的心态、做题节奏，练习你做题的仔细度，熟悉做高中题常见的思考方式等等，并完全消除你对一试的恐惧。这样一年的周爽考下来，到高二的时候一试基本上就熟练了。至于什么时候刻意练一试，一般都建议一试模拟只在六、七月到考联赛之间做，其余时候专心做正常的竞赛题目，提高水平。一试完全熟练的标准大概是各种地方的一试模拟得分期望在 92 分左右。最后一件事是：一试水平其实和二试水平有很大关系，随着二试水平的提高，一些你曾经做不出来或者要花太长时间的一试题就会对你来说不是很困难，你的一试水平也会提高。 |
|
|
